Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do
século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o
mesmo padrão geométrico.
O oitavo número pentagonal é
a) 59.
b) 83.
c) 86.
d) 89.
e) 92.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Sequências e Padrões Numéricos).
- Progressão Aritmética (PA) de 1ª e 2ª Ordem.
- Raciocínio Lógico (Extrapolação de Padrões).
Tema/Objetivo Geral:
Identificar a lei de formação de uma sequência numérica não linear (onde a diferença não é constante, mas a “diferença da diferença” é constante) e calcular os termos subsequentes até o 8º termo.
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O aluno não precisa decorar a fórmula do número pentagonal. Ele precisa ter a paciência de calcular as diferenças termo a termo e perceber que essas diferenças formam uma PA simples de razão 3. O erro comum é errar a soma final.
Gabarito:
Letra E – 92.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
A questão nos dá os 6 primeiros números da sequência:
1, 5, 12, 22, 35, 51.
A pergunta é: Qual é o 8º número?
(Atenção: A questão pede o oitavo, e não o sétimo. Precisamos dar dois passos à frente do último número dado).
A Analogia Central (A Escada que Estica):
Imagine uma escada.
- Do degrau 1 para o 2, a altura é 4 cm.
- Do degrau 2 para o 3, a altura é 7 cm.
- Do degrau 3 para o 4, a altura é 10 cm.
A altura do degrau está aumentando sempre 3 cm a mais que a anterior.
Para chegar no 8º andar, temos que calcular a altura dos próximos degraus e somar tudo.
Nosso Plano de Ataque:
- Calcular a diferença entre cada número vizinho.
- Descobrir o padrão dessas diferenças (aumenta de 3 em 3).
- Calcular a diferença para o 7º e o 8º termo.
- Somar para achar o valor final.
2️⃣ PASSO – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos montar a Tabela de Diferenças:
- 1º Termo: 1
- 2º Termo: 5 (Aumentou 4)
- 3º Termo: 12 (Aumentou 7)
- 4º Termo: 22 (Aumentou 10)
- 5º Termo: 35 (Aumentou 13)
- 6º Termo: 51 (Aumentou 16)
O Padrão Oculto:
Olhe para os aumentos: 4, 7, 10, 13, 16.
Eles crescem de 3 em 3.
Isso é uma PA de razão 3.
3️⃣ PASSO – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora vamos descobrir o futuro.
Passo A: Achar o 7º Termo
O último aumento foi 16.
O próximo aumento deve ser 16+3=19.
Então, o 7º termo será:51 (o anterior)+19=70.
Passo B: Achar o 8º Termo (O Alvo)
O último aumento foi 19.
O próximo aumento deve ser 19+3=22.
Então, o 8º termo será:70 (o anterior)+22=92
Conclusão:
O oitavo número pentagonal é 92.
ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO para não parar no 7º Termo!
Muitos alunos calculam o próximo número (70) e procuram nas alternativas. Felizmente, não tem 70 nas opções. Mas se tivesse, seria a pegadinha. O enunciado pede o OITAVO. Você tem que fazer o processo duas vezes a partir do último dado (51).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A sequência de incrementos é uma PA (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22). Somando os dois próximos incrementos ao último valor (51 + 19 + 22), chegamos a 92.
- Expectativa: O número 92.
4️⃣ PASSO – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 59.
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo na diferença.
- Análise: O aluno pode ter somado 8 ao 51, achando que a diferença era constante ou seguindo outra lógica errada.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
b) 83.
- Diagnóstico do Erro: Erro na soma da PA.
- Análise: Talvez o aluno tenha somado 32 (16+16?) ou feito alguma confusão com os incrementos (ex: somar 13 e 19).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 86.
- Diagnóstico do Erro: Soma errada.
- Análise: Valor próximo, mas matematicamente incorreto para a progressão de razão 3.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 89.
- Diagnóstico do Erro: Erro de “Off-by-one” (Errou por 3).
- Análise: Se o aluno errasse a razão da PA (somasse 22 em vez de 19+22? ou achasse que o incremento era 19 e depois 19 de novo?), poderia chegar perto.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 92.
- Análise: Perfeito. O cálculo respeita rigorosamente o padrão de segunda ordem (diferença das diferenças é constante igual a 3).
- 7º termo = 51 + 19 = 70.
- 8º termo = 70 + 22 = 92.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
5️⃣ PASSO – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A matemática é a ciência dos padrões. Se você descobre a regra do próximo passo, você pode caminhar até o infinito.
Resumo-flash:
“Os degraus crescem de 3 em 3: sobe 19, chega no 70; sobe 22, chega no 92.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): 🧠
Esse tipo de número (Figurado) conecta Aritmética e Geometria.
- Triangulares: 1, 3, 6, 10 (Soma de PA de razão 1).
- Quadrados: 1, 4, 9, 16 (Soma de PA de ímpares).
- Pentagonais: 1, 5, 12… (Soma de PA de razão 3).
A fórmula geral é sempre um polinômio do 2º grau (an2+bn+can2+bn+c).
