Questão 168 caderno azul do ENEM 2024 PPL – Dia 2

O automóvel é um bem que se desvaloriza muito rapidamente, quando comparado a outros bens. Após a venda, um automóvel novo já sofre uma grande desvalorização. O histórico de um automóvel novo, vendido por R$ 30 000,00, apresenta os seguintes valores (V ) de mercado, após decorridos os períodos indicados a seguir:

• ao final de um ano, R$ 27000,00;

• ao final de dois anos, R$ 24300,00;

• ao final de três anos, R$ 21870,00.

Esses preços seguiram um modelo exponencial que expressa V em função do número n de ano de uso, pela relação V(n) = V₀ · qⁿ, em que V₀ é o valor inicial, q é o fator de desvalorização e n é o tempo, em ano, decorrido após a venda.

O valor, em milhar de real, com uma casa decimal, que mais se aproxima do valor de mercado desse carro, ao final de seis anos, é

A) 13,7.

B) 14,3.

C) 14,6.

D) 15,9.

E) 17,7.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática Financeira (Desvalorização/Depreciação), Funções Exponenciais e Progressão Geométrica (PG).

Tema/Objetivo Geral: Calcular o valor futuro de um bem que sofre desvalorização percentual constante ao longo do tempo (modelo exponencial).

Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? A lógica é simples (achar a taxa e multiplicar), mas as contas são “trabalhosas” se você tentar fazer na força bruta sem uma calculadora. O aluno precisa de estratégia aritmética para não perder tempo com multiplicações decimais gigantes.

Gabarito: D (15,9).
A alternativa está correta pois a taxa de manutenção de valor é 0,9 (ou 90%) ao ano. Aplicando esse fator sucessivamente até o sexto ano, chegamos a aproximadamente R$ 15.943,00, que corresponde a 15,9 milhares de reais.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão quer que você descubra o preço do carro no 6º aniversário.
Nós temos o preço do nascimento (Ano 0), do Ano 1, Ano 2 e Ano 3.
O carro perde valor seguindo uma regra fixa (exponencial). Precisamos descobrir essa regra e continuar a conta até o Ano 6.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma escada descendo.
A cada degrau (ano) que você desce, o carro perde uma “fatia” do seu valor.
Se descobrimos que ele perde, por exemplo, 10% a cada degrau, basta tirar 10% do valor atual três vezes seguidas (do ano 3 para o 4, do 4 para o 5, e do 5 para o 6).

Plano de Ataque:

Descobrir o Fator “q”: Quanto sobra do valor de um ano para o outro? (Dividir Ano 1 pelo Ano 0).
Avançar no Tempo: Pegar o valor do Ano 3 (já dado) e aplicar o fator mais 3 vezes para chegar no Ano 6.
Formatar a Resposta: Transformar o dinheiro (Reais) em “Milhares de Reais”.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos usar a Razão da Progressão Geométrica (PG).

Fórmula do Fator “q”:
q = Valor do Ano Seguinte / Valor do Ano Anterior.

O Truque dos 10%:
Se descobrirmos que q = 0,9, isso significa que o carro mantém 90% do valor.
Ou seja, ele perde 10%.
Calcular “menos 10%” de cabeça é muito mais fácil do que montar contas de multiplicar com vírgula!

Dica: Para achar 10% de um número, basta andar a vírgula uma casa para a esquerda.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos investigar os dados:

1. Achando a taxa de desvalorização (q):

Ano 0: 30.000
Ano 1: 27.000
Conta: 27.000 dividido por 30.000.
Corte os zeros: 27 / 30 = 9 / 10 = 0,9.
Conclusão: A cada ano, o carro vale 0,9 do ano anterior. (Ou seja, desvaloriza 10%).

2. Projetando o Futuro (Do Ano 3 ao Ano 6):
O texto já nos deu o valor do Ano 3: R$ 21.870,00.
Não precisamos voltar para o começo! Vamos partir daqui. Faltam 3 anos (4, 5 e 6).

Rumo ao Ano 4:
- Valor atual: 21.870.
- Perde 10% (anda a vírgula): – 2.187.
- Conta: 21.870 – 2.187 = 19.683.
Rumo ao Ano 5:
- Valor atual: 19.683.
- Perde 10% (anda a vírgula): – 1.968,3.
- Conta: 19.683 – 1.968,3 = 17.714,7. (Olha a Alternativa E aqui!).
Rumo ao Ano 6 (A Chegada):
- Valor atual: 17.714,7.
- Perde 10%: – 1.771,47.
- Conta: 17.714,7 – 1.771,47 = 15.943,23.

3. A Conversão Final:
O valor é R$ 15.943,23.
A questão pede em “milhar de real”. Isso significa dividir por 1.000.
15.943 / 1.000 = 15,943.
Com uma casa decimal: 15,9.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos tentam resolver usando a fórmula completa desde o início: V = 30000 * (0,9)^6.
Calcular 0,9 elevado a 6 na mão (0,90,90,90,90,9*0,9) é um pesadelo e a chance de errar a vírgula é enorme.
O método de “tirar 10% a cada passo” a partir do último dado conhecido (Ano 3) é muito mais seguro e rápido.

A Bússola (Síntese):
Valor final aprox. R$ 15.900. Em milhares = 15,9.

Expectativa: Alternativa D.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 13,7.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter aplicado mais um ano de desvalorização (chegando ao Ano 7) ou errado a conta de subtração.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

B) 14,3.
- Diagnóstico do Erro: Possível erro de cálculo acumulado nas subtrações sucessivas.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

C) 14,6.
- Diagnóstico do Erro: Valor próximo, mas matematicamente incorreto para a taxa de 0,9.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

D) 15,9.
- Análise: Perfeita. Corresponde ao valor de R$ 15.943,23, obtido pela aplicação sucessiva do fator 0,9 (três vezes) sobre o valor do terceiro ano.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

E) 17,7.
- Diagnóstico do Erro: O Apressadinho. Esse é o valor do Ano 5 (R$ 17.714). O aluno parou uma conta antes do fim.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A desvalorização veicular segue um modelo de decaimento exponencial (Progressão Geométrica); ao identificar que o veículo retém 90% do seu valor a cada ano, basta projetar essa taxa sucessivamente a partir do último dado conhecido para encontrar o valor no sexto ano.

Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Desvalorização é Juros Compostos ao contrário. Em vez de ganhar 10%, você perde 10% sobre o que sobrou no ano anterior.”

🧠 Para ir Além (Mundo Real):
Essa curva de preço é real! Carros perdem muito valor nos primeiros anos (curva íngreme) e depois a desvalorização “acalma” (a curva fica mais plana). Isso acontece porque 10% de 30 mil (3 mil) é muito dinheiro, mas 10% de um carro velho de 5 mil (500 reais) é pouco. Por isso, financeiramente, costuma ser vantajoso comprar carros seminovos (3 anos de uso), pois a “pior parte” da queda de preço já ficou com o primeiro dono.