Visando obter créditos de carbono, uma empresa, emissora de gases de efeito estufa, elabora um projeto de reflorestamento em uma área desmatada. De acordo com o projeto, no primeiro ano serão reflorestados 500 hectares. A partir daí, a cada ano, a área total reflorestada será aumentada em 50% em relação ao ano anterior.
A expressão algébrica que representa a área total reflorestada (An), em hectare, ao final de n anos é
A) An = 500 ⋅ 0,5n−1
B) An = 500 ⋅ 1,5n−1
C) An = 500 + n ⋅ 250
D) An = 500 ⋅ (1 + 0,5n−1)
E) An = 500 + (n − 1) ⋅ 250
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Progressão Geométrica, Funções Exponenciais.
Nível da Questão: Difícil.
Gabarito: B (An = 500 × 1,5^(n−1))
Tema/Objetivo Geral: Analisar o crescimento anual de uma área reflorestada que aumenta 50% em relação ao valor do ano anterior, identificando a expressão algébrica correta.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“No primeiro ano serão reflorestados 500 hectares. A partir daí, a cada ano, a área total reflorestada será aumentada em 50% em relação ao ano anterior. Qual expressão algébrica representa a área total reflorestada (An), em hectare, ao final de n anos?”
🔹 Explicação Detalhada:
O enunciado descreve um crescimento anual de 50% (ou seja, fator multiplicativo de 1,5) em relação ao ano imediatamente anterior, iniciando com 500 hectares no primeiro ano. Precisamos encontrar a fórmula que expressa esse total ao final de n anos.
📌 Identificação de Palavras-chave:
- “primeiro ano”: 500 hectares
- “a cada ano”: aumento de 50%
- “expressão algébrica”
- “An”: área total reflorestada após n anos
📌 Definição do Objetivo:
Determinar a função que modela esse crescimento anual, levando em conta que no primeiro ano (n=1) temos 500 hectares e que cada ano subsequente multiplica por 1,5 o valor do ano anterior.
➡ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
- 📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
- Progressão Geométrica (PG): Uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
- Forma Geral de PG: Se T1 é o primeiro termo e q a razão, então Tn = T1 × q^(n−1).
- 📌 Fórmulas e Definições (usando letras comuns e em negrito):
- An = A1 × (1 + 0,5)^(n−1), pois o crescimento é de 50% ao ano.
- A1 = 500 (hectares no primeiro ano).
- Razão q = 1,5.
- 📌 Representações Visuais (se necessário):
- (imagem ilustrativa de um gráfico de crescimento exponencial, partindo de 500 no n=1)
➡ Com os conceitos estabelecidos, prossigamos para a interpretação do texto.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
- 📌 Análise do Contexto:
A cada ano, a área total reflorestada passa a ser 1,5 vezes a do ano anterior. No 1º ano, 500 ha. No 2º ano, 500 × 1,5. No 3º ano, 500 × (1,5)², e assim sucessivamente. - 📌 Identificação de Frases-chave:
- “No primeiro ano, 500 hectares.”
- “A cada ano, aumenta 50% em relação ao ano anterior.”
- 📌 Tradução para Termos Matemáticos:
- n = 1 → A1 = 500
- n = 2 → A2 = 500 × 1,5
- n = 3 → A3 = 500 × (1,5)²
- Em geral, An = 500 × (1,5)^(n−1)
➡ Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- 📌 Resolução Completa:
- O padrão de aumento indica uma Progressão Geométrica com primeiro termo 500 e razão 1,5.
- A fórmula geral de PG é Tn = T1 × q^(n−1).
- Substituindo T1 = 500 e q = 1,5, obtemos:
An = 500 × (1,5)^(n−1).
- 📌 Explicação dos Cálculos:
- No 1º ano (n=1), An = 500 × (1,5)^(1−1) = 500 × (1,5)^0 = 500.
- No 2º ano (n=2), An = 500 × (1,5)^1 = 500 × 1,5 = 750, confirmando o acréscimo de 50%.
- E assim por diante.
➡ Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- Reescrita das Alternativas:
A) An = 500 × 0,5^(n−1)
B) An = 500 × 1,5^(n−1)
C) An = 500 + n × 250
D) An = 500 × (1 + 0,5^(n−1))
E) An = 500 + (n−1) × 250 - ✅ Justificativa da Alternativa Correta (B):
- O crescimento de 50% ao ano (razão 1,5) em progressão geométrica com primeiro termo 500.
- Expressão: 500 × 1,5^(n−1).
- ❌ Análise das Alternativas Incorretas:
- A) 0,5^(n−1) indica decrescimento exponencial.
- C) 500 + n × 250 indica crescimento linear, não exponencial.
- D) 500 × (1 + 0,5^(n−1)) não reflete a PG corretamente.
- E) 500 + (n−1) × 250 também indica crescimento linear.
➡ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- 📌 Resumo do Raciocínio:
- O problema descreve um aumento anual de 50% (razão 1,5) sobre a área reflorestada, começando com 500 hectares no primeiro ano.
- Em PG, Tn = T1 × q^(n−1) = 500 × (1,5)^(n−1).
- 📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A expressão correta é An = 500 × 1,5^(n−1), ou seja, Alternativa B. - 🔍 Resumo Final:
Dada a progressão geométrica com primeiro termo 500 e razão 1,5, a expressão que representa a área total reflorestada ao final de n anos é An = 500 × 1,5^(n−1). Portanto, o gabarito é B.
