A partir de um exame clínico, ficou constatado que uma pessoa encontrava-se com uma grave deficiência de vitaminas X e Y. Ela foi orientada a fazer 100% de reposição diária de cada vitamina. Devido à sua condição socioeconômica, ela só dispõe dos alimentos Z e W para suprir essa deficiência. Os alimentos Z e W custam, respectivamente, R$ 3,00 e R$ 8,00 por quilo. Segue um quadro com a porcentagem que cada 100 g desses dois alimentos fornece de cada vitamina.
O valor mínimo diário, em real, que a pessoa gastará para suprir suas necessidades de vitaminas X e Y, consumindo os alimentos Z e W, é
A) 5,00.
B) 5,60.
C) 6,10.
D) 6,20.
E) 10,00.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Matemática (Sistemas Lineares e Proporcionalidade).
Tema/Objetivo Geral: Resolver um problema de otimização de custo (dieta mínima) onde as quantidades de nutrientes são aditivas e devem atingir uma meta de 100%.
Nível da Questão: Médio.
Por que Médio? A questão assusta com porcentagens, mas tem uma “chave mestra”: uma das vitaminas (Y) só existe em um alimento (W). Isso destrava o sistema sem precisar de contas complexas.
Gabarito: B (5,60).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão é um desafio de “Montar o Prato Ideal”.
Temos dois objetivos:
- Conseguir 100 pontos de Vitamina X.
- Conseguir 100 pontos de Vitamina Y.
Temos dois ingredientes no mercado:
- Alimento Z: Rico em X, mas tem ZERO de Y.
- Alimento W: Tem um pouco de X e um pouco de Y.
O objetivo é gastar o mínimo possível para bater as metas.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você precisa de Cálcio e Ferro.
- O Alimento Z é leite puro (só Cálcio).
- O Alimento W é espinafre (tem Ferro e um pouco de Cálcio).
Como só o espinafre tem Ferro, você é obrigado a começar por ele até atingir a meta de Ferro. Depois, você vê quanto faltou de Cálcio e completa com leite.
Plano de Ataque:
- Focar na Vitamina Exclusiva (Y): Como Z tem 0% de Y, só o W pode fornecer Y. Vamos calcular quanto W precisamos.
- Verificar o “Troco” (X): Quanto de X nós ganhamos “de brinde” ao comer esse tanto de W?
- Completar a Meta (X): Usar o alimento Z para preencher o que falta de X.
- Calcular o Preço: Somar os custos.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos organizar os dados da tabela em “pontos por porção”:
Tabela de Nutrientes (a cada 100g):
- Alimento Z: 25% de X e 0% de Y.
- Alimento W: 8% de X e 16% de Y.
Tabela de Preços:
- Alimento Z: R
3,00 por kg. - Alimento W: R
8,00por kg.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar o prato passo a passo:
Etapa A: A Obrigação (Vitamina Y)
Precisamos de 100% de Y.
Só o Alimento W tem Y (16% por porção).
Quantas porções de W precisamos?
Porções = 100 dividido por 16.
Resultado = 6,25 porções (de 100g cada).
Em peso: 625g de Alimento W.
Etapa B: O Bônus (Vitamina X que veio junto)
Cada porção de W tem 8% de X.
Como usamos 6,25 porções:
Total X obtido = 6,25 vezes 8.
Resultado = 50%.
Conseguimos metade da meta de X “sem querer”.
Etapa C: A Falta (Completando X)
A meta é 100%. Já temos 50%. Faltam 50%.
Vamos usar o Alimento Z para isso (ele tem 25% por porção).
Quantas porções de Z precisamos?
Porções = 50 dividido por 25.
Resultado = 2 porções (de 100g cada).
Em peso: 200g de Alimento Z.
Etapa D: A Conta (O Preço)
- Custo do W:
- Precisamos de 0,625 kg.
- Preço = 0,625 vezes R$ 8,00.
- Custo W = R$ 5,00.
- Custo do Z:
- Precisamos de 0,200 kg.
- Preço = 0,200 vezes R$ 3,00.
- Custo Z = R$ 0,60.
Total Final:
5,00 + 0,60 = R$ 5,60.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O “Zero” na tabela.
Muitos alunos tentam montar equações difíceis. O segredo é ver o zero na coluna do Y para o alimento Z.
Se Z não tem Y, você não tem escolha: todo o Y tem que vir do W. Isso resolve metade do problema sem esforço!
Expectativa: Alternativa B.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 5,00.
- Diagnóstico do Erro: O aluno calculou apenas o custo do alimento W para suprir a vitamina Y, esquecendo de verificar se a vitamina X estava completa (faltava metade) e de comprar o alimento Z.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- B) 5,60.
- Análise: Perfeita.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- C) 6,10.
- Diagnóstico do Erro: Cálculo aleatório ou erro de arredondamento na quantidade de W.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- D) 6,20.
- Diagnóstico do Erro: Possível erro de cálculo na conversão de gramas para reais ou confusão entre as porcentagens de X e Y.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
- E) 10,00.
- Diagnóstico do Erro: O aluno pode ter calculado o custo para suprir 100% de X usando apenas W (o mais caro), ignorando que existe um alimento Z mais barato e eficiente para X.
- Conclusão: 🔴 Incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A estratégia de otimização de custo iniciou pela vitamina Y, presente apenas no alimento W, determinando uma quantidade obrigatória desse item; a carência restante da vitamina X foi então suprida pelo alimento Z, resultando em um custo total de R$ 5,60.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Quando a tabela tem um ZERO, comece por ele. O zero indica o caminho único.”
🧠 Para ir Além (Nutrição e Economia):
Esse problema é uma versão simplificada do Problema da Dieta, um dos primeiros problemas resolvidos por Programação Linear na história. Durante a guerra, o exército americano usava essa matemática para criar o cardápio mais barato possível que atendesse a todas as necessidades nutricionais dos soldados.
