Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
A) 8
B) 9
C) 11
D) 18
E) 24
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem e Teoria dos Conjuntos/Subconjuntos).
Tema/Objetivo Geral
Calcular o número total de possibilidades em um sistema de escolhas múltiplas e resolver uma inequação simples para encontrar uma variável desconhecida.
Nível da Questão
- Médio: A questão exige que o aluno perceba a nuance no cálculo dos “opcionais”. Não é apenas escolher 1 dentre 3, mas sim a possibilidade de formar qualquer subconjunto (incluindo o vazio), o que requer um raciocínio combinatório específico.
Gabarito
- Alternativa (B): São necessárias no mínimo 9 cores para superar as 1.000 configurações.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede para descobrirmos a quantidade mínima de cores (vamos chamar de X) necessária para que, ao multiplicarmos todas as opções disponíveis de um carro, o resultado final seja maior que 1.000.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você está montando um “Combo” em uma lanchonete.
- Você escolhe o Pão (Modelo).
- Você escolhe a Carne (Motor).
- Você escolhe os Molhos (Opcionais). Aqui está o segredo: você pode pedir sem molho, com 1 molho, com 2 ou com todos.
- Você escolhe a Bebida (Cor).
A pergunta é: Quantos tipos de bebida a lanchonete precisa ter para que existam mais de 1.000 combinações diferentes de lanches?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Contar Modelos e Motores: Identificar os números simples dados no texto.
- Decifrar os Opcionais: Calcular de quantas formas diferentes podemos configurar os acessórios (o passo mais perigoso).
- Montar a Equação: Multiplicar tudo pela incógnita “Cores” e igualar a 1.000.
- Resolver: Descobrir o valor mínimo de Cores.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar a parte mais traiçoeira da questão (os opcionais), vamos acompanhar um diálogo investigativo para construir o raciocínio correto.
Diálogo: O Detetive Matemático
Mentor: Vamos montar a fórmula total de configurações. O Princípio Fundamental da Contagem diz que devemos multiplicar as possibilidades de cada etapa. Quantos modelos temos?
Aluno: O texto diz 7 modelos.
Mentor: Certo. E quantos motores?
Aluno: Diz 2 tipos de motores. Até aqui, fácil.
Mentor: Agora vem a pegadinha. O texto diz que há 3 tipos de opcionais: multimídia, rodas e bancos. Quantas possibilidades de configuração de opcionais nós temos?
Aluno: Ah, essa é fácil. São 3 opcionais, então multiplico por 3?
Mentor: Pare agora mesmo! Leia o texto de novo. Ele diz que você pode escolher “um, dois, três ou NENHUM”. Se você multiplicar por 3, você está dizendo que o cliente só pode escolher um deles. Como modelamos essa liberdade de escolha?
Aluno: Hum… Eu posso escolher ter ou não ter a multimídia, certo?
Mentor: Exatamente! Pense como interruptores. Para a multimídia, você tem 2 opções: Sim ou Não. E para as rodas?
Aluno: Também 2 opções: Sim ou Não. E para os bancos de couro também 2.
Mentor: Brilhante. Então, qual é o total de combinações apenas para os opcionais?
Aluno: Seria 2 vezes 2 vezes 2?
Mentor: Bingo! Isso dá 8 combinações diferentes. Isso cobre desde o carro “pelado” (Não-Não-Não) até o carro completo (Sim-Sim-Sim). Agora você tem o número real para colocar na multiplicação final.
Resumo da Ferramenta:
Sempre que uma questão permitir escolher “qualquer quantidade” de itens, use a potência de 2.
Total de Opcionais = 2 elevado a 3 = 8.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos coletar os dados e montar a conta.
Fase 1: Coleta de Dados
- Modelos: 7 opções.
- Motores: 2 opções (1.0 e 1.6).
- Opcionais: 8 configurações possíveis (conforme nossa ferramenta acima).
- Cores: X (o que queremos descobrir).
- Meta: Mais de 1.000 configurações.
Fase 2: O Princípio Fundamental da Contagem
Total = Modelos x Motores x Opcionais x Cores
Total = 7 x 2 x 8 x X
Total = 112 x X
Fase 3: A Resolução da Inequação
Queremos que o total seja maior que 1.000.
112 vezes X > 1.000
X > 1.000 dividido por 112
Vamos fazer a divisão aproximada (tabuada do 112):
- 112 x 10 = 1.120 (Passou, serve).
- 112 x 9 = 1.008 (Passou por pouco, serve).
- 112 x 8 = 896 (Não chegou em 1.000).
Conclusão:
Com 8 cores, teríamos apenas 896 carros diferentes.
Com 9 cores, teríamos 1.008 carros diferentes.
Como a empresa prometeu “mais de 1.000”, o número mínimo é 9.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro fatal aqui ocorre no cálculo dos opcionais.
Muitos alunos leem “3 escolhas de opcionais” e multiplicam apenas por 3 na conta final (7 x 2 x 3 x Cor). Isso ignora as combinações (ex: roda + couro).
Outros tentam somar as combinações mas esquecem do “nenhum” (conjunto vazio), achando 7 possibilidades em vez de 8.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Multiplicamos 7 modelos por 2 motores por 8 pacotes de opcionais. Obtivemos 112 configurações base. Dividimos 1.000 por 112 e encontramos que precisamos de, no mínimo, 9 cores.
Expectativa: O valor deve ser um número inteiro igual ou superior a 8,9.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 8
Diagnóstico do Erro: Arredondamento para baixo.
O aluno fez a conta certa (1.000 / 112 = 8,92) mas arredondou matematicamente para baixo ou testou o 8 e achou que 896 era “perto o suficiente”. Na indústria, promessa é dívida: 896 não é 1.000.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 9
Análise de Correspondência:
Perfeita. Ao multiplicar as 112 configurações mecânicas/internas por 9 cores, obtemos 1.008 combinações. É o menor número inteiro que satisfaz a condição “maior que 1.000”.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 11
Diagnóstico do Erro: Excesso de Segurança.
O valor 11 satisfaz a condição (daria 1.232 carros), mas a questão pede a quantidade mínima. 9 já resolve o problema, então 11 não é a resposta ótima.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 18
Diagnóstico do Erro: Erro nos Opcionais.
O aluno pode ter errado o cálculo dos opcionais (considerando menos opções) e compensado aumentando as cores, ou simplesmente chutou um valor mais alto.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 24
Diagnóstico do Erro: Erro de Multiplicação.
O aluno pode ter considerado apenas 3 opções de opcionais (7 x 2 x 3 = 42 base). 1000 / 42 dá aproximadamente 23,8, o que levaria ao arredondamento para 24. Esse erro nasce na interpretação da palavra “opcionais”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 9.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Carro é 7 x 2 x 8 (Lembre do 2 ao cubo!). Deu 112. Quantas vezes 112 cabe em 1000? Cabe 8 e sobra troco. Então precisamos de 9.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
A lógica usada para calcular os opcionais (2 elevado ao número de itens) é a base da Informática e dos Bits. Se fossem 10 opcionais, seriam 2 elevado a 10 = 1.024 combinações.
É assim que o computador calcula cores, memória e processamento. Tudo é sim (1) ou não (0). 3 opcionais = 3 bits = 8 combinações (000 a 111).
