Foram convidadas 32 equipes para um torneio de futebol, que foram divididas em 8 grupos com 4 equipes, sendo que, dentro de um grupo, cada equipe disputa uma única partida contra cada uma das demais equipes de seu grupo. A primeira e a segunda colocadas de cada grupo seguem para realizar as 8 partidas da próxima fase do torneio, chamada oitavas de final. Os vencedores das partidas das oitavas de final seguem para jogar as 4 partidas das quartas de final. Os vencedores das quartas de final disputam as 2 partidas das semifinais, e os vencedores avançam para a grande final, que define a campeã do torneio.
Pelas regras do torneio, cada equipe deve ter um período de descanso de, no mínimo, 3 dias entre dois jogos por ela disputados, ou seja, se um time disputar uma partida, por exemplo, num domingo, só poderá disputar a partida seguinte a partir da quinta-feira da mesma semana.
O número mínimo de dias necessários para a realização desse torneio é
A) 22.
B) 25.
C) 28.
D) 48.
E) 64.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática Básica (Aritmética, Contagem) e Raciocínio Lógico (Problemas de Intervalos e Sequências).
Tema/Objetivo Geral
Determinar a duração mínima de um evento composto por etapas sequenciais com intervalos obrigatórios (pausas).
Nível da Questão
- Médio: A questão exige duas etapas de modelagem: primeiro, descobrir o número total de partidas de um finalista; segundo, calcular o tempo cronológico considerando o “erro do poste e da cerca” (contar intervalos versus contar eventos), o que confunde muitos candidatos.
Gabarito
- Alternativa (B): São necessários 25 dias para acomodar as 7 partidas e os intervalos de descanso obrigatórios.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão quer saber qual é a duração total do campeonato, do primeiro apito do primeiro jogo até o último apito da final. O fator limitante é o tempo de recuperação de uma equipe. Devemos calcular quanto tempo leva para uma equipe jogar todas as partidas necessárias para ser campeã, respeitando o descanso mínimo.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você precisa tomar 7 comprimidos (os jogos). O médico disse que, após tomar um comprimido, você deve esperar 3 dias inteiros sem tomar nada antes de tomar o próximo.
Se você tomar o primeiro comprimido no dia 1, em que dia você tomará o último?
O desafio é: não confunda o número de jogos com o número de intervalos de descanso.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Contar os Jogos: Determinar quantas vezes um time entra em campo para chegar à final e ser campeão.
- Definir o Ciclo: Calcular quantos dias dura um “bloco” de jogo + descanso.
- Montar a Linha do Tempo: Somar os blocos para encontrar o dia da grande final.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, vamos usar a Lógica dos Intervalos (Postes e Cercas).
Ferramenta 1: Contagem de Partidas
- Fase de Grupos: Em um grupo de 4 times, onde todos jogam contra todos uma única vez, cada time joga 3 vezes (contra os outros 3 adversários).
- Fase Mata-Mata: Oitavas + Quartas + Semifinais + Final = 4 jogos.
- Total de Jogos do Campeão: 3 + 4 = 7 jogos.
Ferramenta 2: A Matemática do Calendário
O enunciado diz: “se jogar domingo, só joga quinta”.
Vamos contar: Domingo (Jogo) -> Segunda (Descanso 1) -> Terça (Descanso 2) -> Quarta (Descanso 3) -> Quinta (Próximo Jogo).
Conclusão: O intervalo entre o início de um jogo e o início do próximo é de 4 dias.
Ferramenta 3: O Princípio dos Intervalos
Se temos 7 jogos (eventos pontuais), quantos intervalos de espera existem entre eles?
Sempre n – 1.
Entre 7 jogos, existem 6 intervalos de descanso.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos aplicar a lógica passo a passo.
Fase 1: O Caminho do Campeão
Para ser campeão, a equipe precisa sobreviver a tudo.
- Jogo 1 (Grupo)
- Jogo 2 (Grupo)
- Jogo 3 (Grupo)
- Jogo 4 (Oitavas)
- Jogo 5 (Quartas)
- Jogo 6 (Semi)
- Jogo 7 (Final)
Total: 7 Partidas.
Fase 2: O Cálculo do Tempo
Vamos simular o calendário começando no Dia 1.
- Jogos 1 a 6 (Jogos que exigem descanso posterior para haver o próximo):
São 6 partidas que antecedem a final. Cada uma delas “gasta” 1 dia de jogo + 3 dias de descanso obrigatório antes da próxima.
Custo de tempo = 6 ciclos vezes 4 dias = 24 dias.
Isso nos leva até o momento imediatamente anterior ao jogo da final. - Jogo 7 (A Grande Final):
Este jogo acontece no dia seguinte ao último descanso. Ele gasta apenas o dia do jogo. Não precisamos somar os 3 dias de descanso após a final, pois o torneio acaba quando o juiz apita. A pergunta é sobre a duração do torneio, não sobre a recuperação dos atletas pós-torneio.
Custo de tempo = 1 dia.
Cálculo Final:
Total de Dias = (6 intervalos de 4 dias) + (1 dia da final)
Total = 24 + 1 = 25.
Visualização em Progressão Aritmética (Para quem gosta de fórmula):
Termo Geral: an = a1 + (n – 1) . r
Onde:
a1 = Dia 1 (Primeiro jogo)
n = 7 (Sétimo jogo)
r = 4 (Razão, pois os jogos ocorrem de 4 em 4 dias)
a7 = 1 + (6) . 4
a7 = 1 + 24 = Dia 25.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum é multiplicar 7 jogos por 4 dias (7 x 4 = 28).
Por que está errado? Porque isso assume que existe um período de descanso obrigatório após a final que conta para a duração do torneio. O torneio não dura até o time descansar da final; ele dura até a entrega da taça. O último intervalo não existe.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Identificamos 7 jogos. Isso gera 6 intervalos de descanso. Cada passo entre jogos dura 4 dias. O último jogo ocupa apenas 1 dia.
Expectativa: Devemos buscar o número 25.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 22.
Diagnóstico do Erro: Erro de Contagem de Jogos.
O candidato pode ter calculado errado o número de jogos da fase de grupos (contando apenas 2, por exemplo) ou esquecido alguma fase do mata-mata, chegando a 6 jogos no total (5 intervalos x 4 + 1 = 21, próximo de 22).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 25.
Análise de Correspondência:
Perfeita. Considera corretamente os 7 jogos necessários para o título. Aplica corretamente a lógica de que entre 7 eventos existem 6 intervalos de 4 dias (24 dias) mais o dia do evento final (Total 25).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 28.
Diagnóstico do Erro: O Erro do “Excesso de Descanso”.
O candidato multiplicou 7 jogos por 4 dias (7 x 4 = 28), incluindo indevidamente os 3 dias de descanso após a final na duração do torneio.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 48.
Diagnóstico do Erro: Falta de Otimização (Simultaneidade).
O candidato pode ter somado os tempos de todos os grupos sequencialmente, esquecendo que os jogos da fase de grupos acontecem simultaneamente (em paralelo). O tempo mínimo é ditado por uma única equipe avançando, não pela soma de todas.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 64.
Diagnóstico do Erro: Absurdo Numérico.
Provavelmente uma tentativa de multiplicar o número total de times (32) por algum fator, sem conexão lógica com o calendário.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é 25.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Entre 7 árvores, há apenas 6 espaços. Conte os espaços, multiplique pelo tamanho do passo (4 dias) e plante a última árvore no final.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema utiliza o Princípio da Contagem de Intervalos, fundamental na Física (Ondulatória) e na Computação. Em computação, isso é conhecido como “Fencepost Error” (Erro do Poste da Cerca). Se você precisa construir uma cerca de 100 metros com postes a cada 10 metros, você precisa de 11 postes, não 10. O “poste extra” é análogo ao “jogo final” que não tem intervalo depois.
