Em um jogo de bingo, as cartelas contém 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.
O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.
A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é
A) 1/46 + 1/45
B) 1/46 + 2/(46.45)
C) 1/46 + 8/(46.45)
D) 1/46 + 43/(46.45)
E) 1/46 + 49/(46.45)
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Probabilidade (União de Eventos, Eventos Mutuamente Excludentes e Multiplicação de Probabilidades).
Tema/Objetivo Geral
Calcular a probabilidade de vitória em um jogo de azar (bingo) considerando múltiplos cenários de vitória (linha, coluna ou diagonal) ao longo de duas etapas consecutivas sem reposição.
Nível da Questão
- Médio: A questão exige a identificação visual dos números faltantes e a construção de um raciocínio probabilístico dividido em duas etapas temporais (rodada 1 e rodada 2). O desafio matemático está em somar corretamente os cenários da segunda rodada.
Gabarito
- Alternativa (E): A probabilidade total é a soma da chance de ganhar imediatamente (1/46) com a chance de ganhar na segunda rodada (49 dividido por 46 vezes 45).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Pedro precisa de sorte. A questão quer saber qual a probabilidade matemática de ele gritar “BINGO” na próxima rodada OU na rodada seguinte.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que Pedro está diante de uma porta trancada (a vitória). Ele tem duas chaves no bolso (duas rodadas) para tentar abrir.
- Na primeira tentativa, ele pode achar a chave mestra (o número 12) e abrir a porta na hora.
- Se falhar na primeira, ele ainda tem a segunda tentativa. Na segunda tentativa, ele pode finalmente achar a chave mestra (o 12) OU ele pode ter achado as duas partes de uma chave quebrada (os pares da coluna ou da diagonal) somando a primeira e a segunda tentativa.
A questão pede a soma das chances de sucesso nesses dois momentos.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Diagnóstico da Cartela: Identificar exatamente quais números faltam para Pedro ganhar.
- Cenário Imediato: Calcular a chance de ganhar logo na primeira bola sorteada.
- Cenário Secundário: Calcular a chance de ganhar na segunda bola, considerando todas as combinações possíveis (achar o número solitário ou completar os pares).
- Soma Total: Unir as probabilidades.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver isso, vamos mapear as necessidades de Pedro. Olhando a Figura 2 e comparando com as regras da Figura 1:
Análise dos Buracos:
Total de números no jogo: 50.
Números já sorteados: 4.
Números restantes no globo (Espaço Amostral inicial): 50 – 4 = 46.
As Chances de Vitória:
- Ganhar pela Linha 1: Pedro tem 03, 48, 27. Falta apenas o 12. (Precisa de 1 número).
- Ganhar pela Coluna 4: Pedro tem 27 e 07. Faltam 05 e 45. (Precisa de 2 números).
- Ganhar pela Diagonal: Pedro tem 03 e 07. Faltam 11 e 19. (Precisa de 2 números).
Regra de Ouro da Probabilidade sem Reposição:
Na 1ª rodada, temos 46 bolas.
Na 2ª rodada, teremos 45 bolas.
O denominador da probabilidade da segunda etapa será sempre 46 vezes 45.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular a probabilidade separando por “momentos da vitória”.
Momento 1: Vitória na Primeira Rodada
Para ganhar de primeira, só existe uma salvação: sair o número 12.
- Bolas favoráveis: 1 (apenas o número 12).
- Bolas totais: 46.
- Probabilidade A = 1/46.
(Isso já explica a primeira parte de todas as alternativas).
Momento 2: Vitória na Segunda Rodada
Para ganhar aqui, precisamos analisar o que aconteceu na primeira e na segunda bola. O denominador comum aqui será 46 x 45. Vamos focar no numerador (casos favoráveis):
- Caso A: Ganhar com a Linha (Número 12 saiu na 2ª vez)
Para o 12 sair na segunda, qualquer coisa (menos o 12) teve que sair na primeira.
Quantos números “não-12” existem no globo? 45 números.
Então temos 45 pares possíveis onde o primeiro não é 12, e o segundo é 12 (Ex: sai 33, depois 12; sai 49, depois 12…).
Casos favoráveis = 45. - Caso B: Ganhar com a Coluna (Pares 05 e 45)
Para ganhar aqui, as duas bolas sorteadas têm que ser exatamente 05 e 45.
Pode sair nessa ordem: (05 e depois 45) OU (45 e depois 05).
Casos favoráveis = 1 + 1 = 2. - Caso C: Ganhar com a Diagonal (Pares 11 e 19)
Para ganhar aqui, as duas bolas sorteadas têm que ser exatamente 11 e 19.
Pode sair nessa ordem: (11 e depois 19) OU (19 e depois 11).
Casos favoráveis = 1 + 1 = 2.
Somando o Numerador da 2ª Rodada:
Total de combinações felizes na segunda etapa = 45 (do caso linha) + 2 (do caso coluna) + 2 (do caso diagonal) = 49.
Probabilidade da 2ª Rodada:
Probabilidade B = 49 / (46 x 45).
Probabilidade Final do Problema:
Probabilidade Total = Probabilidade A + Probabilidade B
Total = 1/46 + 49/(46×45).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muitos alunos esquecem de contar as chances de o número 12 sair na segunda rodada. Eles pensam: “Se o 12 sair, eu ganho. Se não sair o 12, eu tento os pares”. E aí somam apenas os 4 casos dos pares (2 da coluna + 2 da diagonal) no numerador, esquecendo que tirar uma bola “inútil” na primeira e o 12 na segunda TAMBÉM é uma forma de ganhar na segunda rodada.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Calculamos a chance imediata (1/46). Depois calculamos a chance tardia, somando os casos onde o 12 vem atrasado (45 casos) com os casos onde completamos os pares (4 casos).
Expectativa: Procurar uma alternativa que some 1/46 com uma fração de numerador 49.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1/46 + 1/45
Diagnóstico do Erro: Simplismo.
O aluno somou a chance de ganhar na primeira (1/46) com a chance simples de ganhar na segunda (1/45), ignorando que para chegar na segunda rodada é preciso considerar a probabilidade da primeira bola não ter resolvido o jogo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1/46 + 2/(46×45)
Diagnóstico do Erro: Esquecimento Parcial.
O aluno considerou apenas um dos casos de pares (talvez só a coluna) e esqueceu da diagonal e do número 12 na segunda rodada.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1/46 + 8/(46×45)
Diagnóstico do Erro: Confusão de Pares.
O aluno talvez tenha considerado apenas os pares (2+2) e multiplicado por 2 indevidamente, ou tentou adivinhar um número baixo, esquecendo o peso estatístico de tirar o 12 na segunda rodada.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 1/46 + 43/(46×45)
Diagnóstico do Erro: Erro de Conta.
Valor próximo, mas incorreto. Pode surgir de uma subtração errada no cálculo dos casos favoráveis do número 12.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 1/46 + 49/(46×45)
Análise de Correspondência:
Perfeita.
Primeiro termo (1/46): Ganha logo com o 12.
Segundo termo: O denominador (46×45) representa o espaço amostral de dois sorteios. O numerador (49) é a soma exata de:
- 45 chances de tirar (qualquer coisa + 12).
- 2 chances de tirar (05+45 ou 45+05).
- 2 chances de tirar (11+19 ou 19+11).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é Alternativa E.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Ganhar agora é fácil (12). Ganhar depois exige somar tudo: o 12 atrasado (45 amigos) e os pares perfeitos (4 amigos). Total de amigos na segunda festa: 49.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema utiliza o conceito de Árvore de Decisão em Probabilidade. Na computação e na inteligência artificial, algoritmos usam exatamente essa estrutura para calcular a melhor jogada em xadrez ou damas, somando as probabilidades de vitória em movimentos futuros (n+1, n+2) dado o estado atual do tabuleiro.
