Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
A) P(I) < P(III) < P(II)
B) P(II) < P(I) < P(III)
C) P(I) < P(II) = P(III)
D) P(I) = P(II) < P(III)
E) P(I) = P(II) = P(III)
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Probabilidade; Análise de amostras; Combinatória básica.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: E.
Objetivo Geral: Comparar as probabilidades de seleção do atleta dopado nos três diferentes métodos de sorteio.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 📌 Transcrição Essencial
“Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
… P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou substância proibida ser escolhido para o exame nos modos I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se …”
1.2 📌 O que está sendo pedido?
Calcular, em cada um dos três modos (I, II e III), a probabilidade de que o único atleta que usou substância proibida seja selecionado para o exame.
1.3 📌 Objetivo Cristalino
Determinar P(I), P(II) e P(III) e, em seguida, comparar esses valores para definir se são iguais ou têm alguma ordem.
1.4 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que, em cada modo, a amostra tem tamanhos e “etapas” diferentes, mas o total de atletas é sempre 200 (20 equipes × 10 atletas)?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 📌 Definições e Fórmulas
- Total de atletas: 20 equipes × 10 atletas = 200 atletas.
- Em cada modo, queremos a probabilidade de “selecionar exatamente o atleta dopado”.
- Modo I: escolher 3 atletas entre 200. A probabilidade de um específico ser sorteado em um único sorteio de 1 atleta seria 1/200, mas como são 3 sorteios sem reposição, a probabilidade total de ser selecionado entre os 3 é
P(I) = 3 × (1/200) = 3/200. - Modo II:
- Sortear a equipe do atleta dopado: probabilidade = 1/20.
- Dentro dessa equipe (10 atletas), escolher 3 atletas em 3 sorteios sem reposição. A probabilidade de o atleta dopado ser um dos 3 sorteados = 3/10.
⇒ P(II) = (1/20) × (3/10) = 3/200.
- Modo III:
- Sortear 3 equipes entre 20. A probabilidade de a equipe do atleta dopado estar entre as 3 sorteadas = 3/20.
- Dentro dessa equipe sorteada, escolher exatamente 1 atleta entre seus 10 atletas: probabilidade de ser o atleta dopado = 1/10.
⇒ P(III) = (3/20) × (1/10) = 3/200.
2.2 ❓✔ Dúvida Comum e Resposta
Dúvida Comum: “Por que no Modo I multiplicamos 1/200 por 3, em vez de usar combinações?”
Resposta: Em termos de probabilidade de um atleta específico ser selecionado em 3 sorteios sem reposição, podemos enxergar cada sorteio como uma chance 1/200, depois 1/199, depois 1/198 — mas a soma aproximada dos três eventos (sem reposição) é exatamente 3/200. Esse método direto é equivalente à razão combinatória C(199,2) / C(200,3) mas simplifica o cálculo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 📌 Contextualização Simplificada
Há 200 atletas no total. Só um deles é dopado. Queremos saber, em cada método de seleção (I, II e III), qual a chance de esse atleta dopado ser incluído entre os escolhidos para o antidoping.
3.2 📌 Estratégia Geral
- Modo I: visualizar como “3 sorteios diretos entre 200 atletas”;
- Modo II: primeiro “escolho 1 equipe” (entre 20), depois “escolho 3 atletas” dentro dessa equipe (10 atletas);
- Modo III: primeiro “escolho 3 equipes” (entre 20), depois “escolho 1 atleta” em cada equipe (10 atletas cada).
Em cada caso, multiplicar as probabilidades dos eventos necessários para que o atleta dopado seja selecionado.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 📌 Passo a Passo Detalhado
- Modo I:
- Total de 200 atletas, 1 é dopado.
- A cada um dos 3 sorteios sem reposição, a chance de sair o atleta dopado no primeiro sorteio é 1/200; se não saiu no primeiro, no segundo seria (1/199), mas podemos agrupar esses três eventos sem reposição como equivalente a P = 3/200.
- Conclusão: P(I) = 3/200.
- Modo II:
- Sortear 1 equipe entre 20; probabilidade de cair na equipe certa = 1/20.
- Dentro dessa equipe escolhida, há 10 atletas, 1 dopado. Vamos sortear 3 atletas sem reposição. A probabilidade do dopado estar entre esses 3 sorteados = 3/10.
- Conclusão: P(II) = (1/20) × (3/10) = 3/200.
- Modo III:
- Sortear 3 equipes entre 20. A chance de incluir a equipe do atleta dopado entre essas 3 = 3/20.
- Dentro dessa equipe (de 10 atletas), sorteia-se exatamente 1 atleta ― a chance de ser o dopado é 1/10.
- Conclusão: P(III) = (3/20) × (1/10) = 3/200.
4.2 📌 Verificação Intermediária
- Confirmamos que, em cada método, o resultado algebricamente simplificado dá 3/200.
- Portanto, P(I) = P(II) = P(III) = 3/200.
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) P(I) < P(III) < P(II)
B) P(II) < P(I) < P(III)
C) P(I) < P(II) = P(III)
D) P(I) = P(II) < P(III)
E) P(I) = P(II) = P(III)
5.2 Justificativa Individual
- A) ❌
- Não corresponde, pois as três probabilidades são iguais.
- B) ❌
- Também não se aplica.
- C) ❌
- Está dizendo que P(I) é menor que P(II) e P(III), mas na verdade P(I) = P(II) = P(III).
- D) ❌
- Indica duas iguais e uma maior, mas todas as três são iguais.
- E) ✅
- Todas as probabilidades são 3/200, ou seja, iguais.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 📌 Resumo do Raciocínio
Em cada modo, a probabilidade de selecionar o mesmo atleta dopado (único entre 200 participantes) resulta em 3/200. Isso acontece porque:
- Modo I: 3 sorteios diretos entre 200 atletas → 3/200.
- Modo II: (1/20) chance de escolher a equipe certa × (3/10) chance de escolher o atleta dopado entre os 3 da equipe → 3/200.
- Modo III: (3/20) chance de incluir a equipe certa entre 3 selecionadas × (1/10) chance de escolher o atleta dopado naquela equipe → 3/200.
6.2 📌 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é E) P(I) = P(II) = P(III).
6.3 🔍 Resumo Final para Revisão
Quando se trata de escolher aleatoriamente um mesmo atleta em diferentes etapas ou agrupamentos, é fundamental multiplicar as probabilidades de cada etapa de sorteio. Se o cálculo resultar no mesmo valor em todos os métodos, então as probabilidades são iguais.
