Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função
onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
A) janeiro.
B) abril.
C) junho.
D) julho.
E) outubro.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Funções periódicas; Trigonometria (cosseno); Interpretação de máximo e mínimo de funções.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: D (julho).
Objetivo Geral: Determinar em qual mês o preço atinge seu valor mínimo, o que corresponde à produção máxima.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 📌 Transcrição Essencial
“P(x) = 8 + 5 cos ( (π x – π) / 6 ), onde x representa o mês do ano (x = 1 para janeiro, x = 2 para fevereiro, …, x = 12 para dezembro). Na safra, o mês de produção máxima desse produto é …”
1.2 📌 O que está sendo pedido?
Encontrar o valor de x (mês) para o qual P(x) é mínimo, pois menor preço indica que o produto está em safra (produção máxima).
1.3 📌 Objetivo Cristalino
Determinar x no intervalo de 1 a 12 para o qual cos ( (π x – π) / 6 ) = –1, já que isso reduz P(x) ao menor valor possível.
1.4 ✔ Pergunta de Atenção
Você lembra que, em funções do tipo A + B cos θ, o valor mínimo ocorre quando cos θ = –1 e que isso significa θ = π + 2kπ?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 📌 Definições e Fórmulas
- Função dada: P(x) = 8 + 5 cos ( (π x – π) / 6 )
- O cosseno atinge valor mínimo de –1 quando o argumento é igual a π + 2kπ (k inteiro).
- Para encontrar o mínimo de P(x), precisamos resolver:
(π x – π) / 6 = π + 2kπ - Em seguida, isolar x e verificar quais valores no intervalo [1, 12] satisfazem essa condição.
2.2 ❓✔ Dúvida Comum e Resposta
Dúvida Comum: “Por que não basta fazer π x – π = 6 π e achar x? Precisamos considerar 2kπ?”
Resposta: Como o cosseno é periódico com período 2π, toda vez que o argumento for π + 2kπ (k inteiro), cos terá valor –1. Mas, ao buscar x entre 1 e 12, basta escolher k = 0, pois outros k gerariam valores de x fora desse intervalo.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 📌 Contextualização Simplificada
Temos um gráfico de preço P(x) ao longo dos meses. Na entressafra, o preço é alto; na safra, o preço é baixo. A função trigonométrica descreve esse comportamento. Para achar o mês em que o produto está em safra (produção máxima), bastar localizar o argumento do cosseno que produza o valor mínimo de P(x).
3.2 📌 Estratégia Geral
- Identificar o ponto em que cos ( (π x – π) / 6 ) = –1.
- Resolver (π x – π) / 6 = π + 2kπ para x, tomando k = 0 para manter x em [1, 12].
- Verificar que valor de x corresponde ao mês desejado.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 📌 Passo a Passo Detalhado
- Condição para mínimo de P(x):
cos ( (π x – π) / 6 ) = –1 - Argumento do cosseno igual a π + 2kπ:
(π x – π) / 6 = π + 2kπ - Multiplicar ambos os lados por 6:
π x – π = 6π + 12kπ - Isolar π x:
π x = π + 6π + 12kπ
π x = 7π + 12kπ - Dividir por π:
x = 7 + 12k - Escolher k inteiro de modo que x esteja entre 1 e 12:
- Para k = 0 → x = 7
- Para k = –1 → x = –5 (fora do intervalo)
- Para k = 1 → x = 19 (fora do intervalo)
Portanto, x = 7 é o único valor válido no intervalo de 1 a 12.
4.2 📌 Verificação Intermediária
- Com x = 7:
(π·7 – π) / 6 = (7π – π) / 6 = 6π / 6 = π
cos π = –1 → P(7) = 8 + 5·(–1) = 3, que é o valor mínimo possível da função.
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) janeiro (x = 1)
B) abril (x = 4)
C) junho (x = 6)
D) julho (x = 7)
E) outubro (x = 10)
5.2 Justificativa Individual
- A) janeiro (x = 1) ❌
- Se x = 1, (π·1 – π)/6 = 0 → cos 0 = 1 → P = 13 (máximo, não mínimo).
- B) abril (x = 4) ❌
- Se x = 4, (4π – π)/6 = 3π/6 = π/2 → cos(π/2) = 0 → P = 8 (valor intermediário).
- C) junho (x = 6) ❌
- Se x = 6, (6π – π)/6 = 5π/6 → cos(5π/6) = –√3/2 ≈ –0,866 → P ≈ 8 – 4,33 = 3,67 (não é o mínimo absoluto).
- D) julho (x = 7) ✅
- Se x = 7, (7π – π)/6 = π → cos π = –1 → P = 8 – 5 = 3 (valor mínimo).
- E) outubro (x = 10) ❌
- Se x = 10, (10π – π)/6 = 9π/6 = 3π/2 → cos(3π/2) = 0 → P = 8 (valor intermediário).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 📌 Resumo do Raciocínio
Para minimizar P(x) = 8 + 5 cos( (π x – π)/6 ), precisamos de cos = –1. Resolvida a equação (π x – π)/6 = π + 2kπ e tomando k = 0, obtemos x = 7.
6.2 📌 Gabarito Reafirmado
O mês de produção máxima (safra) é julho (x = 7). Alternativa D.
6.3 🔍 Resumo Final para Revisão
Em funções do tipo A + B cos((a x + b)), o mínimo ocorre quando o argumento do cosseno é π + 2kπ. Basta resolver essa condição para x no domínio desejado.
