José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é
A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Probabilidade
- Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo e comparação de probabilidades em um experimento de lançamento de dois dados.
🎯 Nível da Questão: Fácil – A questão é considerada fácil porque a resolução envolve a enumeração manual de todas as combinações possíveis para cada soma, um procedimento clássico no estudo de probabilidade com dados. O espaço amostral total (36 resultados) não precisa ser calculado, pois a questão pede apenas para comparar qual evento tem o maior número de casos favoráveis.
✅ Gabarito: D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. A alternativa está correta pois, ao listar todas as combinações de resultados dos dois dados para cada soma desejada, a soma 7 (escolha de José) é a que possui o maior número de casos favoráveis (6), conferindo-lhe a maior probabilidade de ocorrência.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é”
O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para descobrir qual dos três amigos (José, Paulo ou Antônio) fez a aposta mais provável de acontecer. Ou seja, qual das somas (7, 4 ou 8) tem a maior chance de ocorrer no lançamento de dois dados.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é contar, para cada amigo, de quantas maneiras diferentes a sua soma escolhida pode ser formada. Aquele que tiver o maior número de maneiras possíveis terá a maior probabilidade de ganhar.
Pergunta de Atenção ✔
Você lembra que, ao jogar dois dados, o resultado (1, 3) é diferente do resultado (3, 1)? A ordem importa porque os dados são objetos distintos (ou podemos pensar neles como sendo de cores diferentes). Contar esses casos separadamente é crucial para o cálculo correto!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Contéudos Necessários
Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos entender os conceitos básicos de probabilidade:
- Espaço Amostral:
- Explicação: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. No lançamento de dois dados, cada dado tem 6 faces. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de resultados é 6 (para o 1º dado) × 6 (para o 2º dado) = 36 resultados possíveis.
- Exemplos de resultados: (1,1), (1,2), (1,3), …, (6,5), (6,6).
- Evento:
- Explicação: É um subconjunto do espaço amostral. É o resultado específico que estamos interessados em analisar.
- No Problema: Temos três eventos:
- Evento J (José): A soma dos dados ser 7.
- Evento P (Paulo): A soma dos dados ser 4.
- Evento A (Antônio): A soma dos dados ser 8.
- Probabilidade de um Evento:
- Fórmula: P(E) = (Número de Casos Favoráveis) / (Número Total de Casos no Espaço Amostral)
- Lógica da Questão: Como o Número Total de Casos (36) é o mesmo para todos os amigos, a probabilidade será maior para quem tiver o maior Número de Casos Favoráveis. Portanto, não precisamos calcular a probabilidade final (a fração), basta comparar o número de casos favoráveis de cada um.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Três amigos estão apostando na soma dos pontos de dois dados.
- José aposta na soma 7.
- Paulo aposta na soma 4.
- Antônio aposta na soma 8.
Nossa tarefa é ser o “juiz” e descobrir qual dessas apostas é a mais “inteligente”, ou seja, qual resultado tem mais combinações possíveis de aparecer.
Estratégia Geral 📌
A estratégia é a enumeração sistemática. Vamos listar todos os pares de números (de 1 a 6) que, somados, resultam na aposta de cada um dos amigos.
- Listar todos os pares (dado 1, dado 2) cuja soma é 4 (aposta de Paulo).
- Listar todos os pares (dado 1, dado 2) cuja soma é 7 (aposta de José).
- Listar todos os pares (dado 1, dado 2) cuja soma é 8 (aposta de Antônio).
- Contar quantos pares encontramos para cada um e comparar os totais.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
1. Análise da aposta de Paulo (Soma = 4):
- Vamos listar os pares de resultados (dado 1, dado 2) que somam 4:
- Se o dado 1 for 1, o dado 2 precisa ser 3 → (1, 3)
- Se o dado 1 for 2, o dado 2 precisa ser 2 → (2, 2)
- Se o dado 1 for 3, o dado 2 precisa ser 1 → (3, 1)
- (Se o dado 1 for 4 ou mais, a soma já passa de 4).
- Total de possibilidades para Paulo = 3
2. Análise da aposta de José (Soma = 7):
- Vamos listar os pares que somam 7:
- Se o dado 1 for 1, o dado 2 precisa ser 6 → (1, 6)
- Se o dado 1 for 2, o dado 2 precisa ser 5 → (2, 5)
- Se o dado 1 for 3, o dado 2 precisa ser 4 → (3, 4)
- Se o dado 1 for 4, o dado 2 precisa ser 3 → (4, 3)
- Se o dado 1 for 5, o dado 2 precisa ser 2 → (5, 2)
- Se o dado 1 for 6, o dado 2 precisa ser 1 → (6, 1)
- Total de possibilidades para José = 6
3. Análise da aposta de Antônio (Soma = 8):
- Vamos listar os pares que somam 8:
- (Se o dado 1 for 1, o dado 2 teria que ser 7, o que é impossível).
- Se o dado 1 for 2, o dado 2 precisa ser 6 → (2, 6)
- Se o dado 1 for 3, o dado 2 precisa ser 5 → (3, 5)
- Se o dado 1 for 4, o dado 2 precisa ser 4 → (4, 4)
- Se o dado 1 for 5, o dado 2 precisa ser 3 → (5, 3)
- Se o dado 1 for 6, o dado 2 precisa ser 2 → (6, 2)
- Total de possibilidades para Antônio = 5
Verificação Intermediária 📌
Agora temos a “pontuação” de cada amigo:
- Paulo: 3 chances
- José: 6 chances
- Antônio: 5 chances
Conclusão: José é quem tem o maior número de resultados favoráveis e, portanto, a maior probabilidade de ganhar.
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a contagem. Um erro comum é não considerar os pares “invertidos” como casos distintos. Por exemplo, para a soma 4, contar apenas (1, 3) e (2, 2) e esquecer de (3, 1). Isso levaria a uma contagem errada. Lembre-se, o dado da esquerda cair com “1” e o da direita com “3” é um evento diferente de o da esquerda cair com “3” e o da direita com “1”.
Fechamento e expectativa
Nossa contagem mostra que a aposta de José é a mais provável. A alternativa correta deve afirmar isso e, idealmente, apresentar a contagem correta das possibilidades para cada um.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio…
C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio…
D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
Justificativa Individual
- 🔴 A) Antônio, já que sua soma é a maior…: Incorreta. A probabilidade não depende do valor da soma, mas sim do número de maneiras de obtê-la.
- 🔴 B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades…: Incorreta. A contagem está errada para Antônio, que tem apenas 5 possibilidades.
- 🔴 C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades…: Incorreta. A contagem está errada para José e para Antônio.
- 🟢 D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 para a de Antônio e 3 para a de Paulo: Correta. Apresenta o vencedor correto (José) e a justificativa com a contagem exata de possibilidades para cada um, que bate perfeitamente com a nossa análise.
- 🔴 E) Paulo, já que sua soma é a menor…: Incorreta. Assim como na alternativa A, o valor da soma não determina a probabilidade. Paulo tem a menor probabilidade.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
Para determinar quem tinha a maior probabilidade de ganhar, contamos o número de combinações de resultados de dois dados para cada soma desejada. A soma 4 tem 3 possibilidades, a soma 8 tem 5 possibilidades, e a soma 7 tem 6 possibilidades. Como a soma 7 (aposta de José) possui o maior número de casos favoráveis, ela é a mais provável de ocorrer.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a D).
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: No lançamento de dois dados, a soma 7 é sempre a mais provável! As somas se distribuem simetricamente em torno do 7: a probabilidade da soma 6 é igual à da soma 8; a da 5 é igual à da 9, e assim por diante.
