O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado).
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?
A) 14
B) 18
C) 20
D) 21
E) 23
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Combinação Simples)
- Interpretação de Texto
- Raciocínio Lógico
🎯 Tema/Objetivo Geral: Contagem do número total de possibilidades em um sistema de codificação com regras específicas.
🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque não é uma aplicação direta de uma única fórmula. O aluno precisa interpretar o texto cuidadosamente, separar o problema em “casos” (cores primárias, secundárias, tons claros/escuros e preto/branco) e depois combinar os resultados de cada caso para chegar ao total. É um exercício de organização do raciocínio combinatório.
✅ Gabarito: C) 20. A alternativa está correta. O sistema pode representar 3 cores primárias, 3 cores secundárias (totalizando 6 cores cromáticas), cada uma podendo ser normal, clara ou escura (6 x 3 = 18 variações). Somando as representações para o preto e o branco, chegamos ao total de 20 cores.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?”
O que está sendo pedido?📌
A questão nos pede para calcular o número total de cores e tons diferentes que podem ser formados com o sistema de símbolos criado por Miguel Neiva.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é dissecar as regras de formação de cores descritas no texto e usar a análise combinatória para contar todas as possibilidades, sem esquecer nenhum caso.
Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que o problema se divide em duas partes principais? Primeiro, temos que contar as “cores coloridas” (primárias e secundárias) e suas variações de tom (claro/escuro). Depois, temos que adicionar as cores “não-coloridas” (preto e branco). É importante não misturar os dois cálculos!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Contéudos Necessários
Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos de algumas ferramentas da Análise Combinatória:
- Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo):
- Explicação: Se uma decisão pode ser tomada em n etapas independentes, e a primeira etapa tem p₁ possibilidades, a segunda tem p₂, e assim por diante, o número total de possibilidades é o produto p₁ × p₂ × … × pₙ.
- Aplicação: Usaremos isso para combinar as cores com os tons (claro, escuro, normal).
- Combinação Simples (Cₙ,ₚ):
- Explicação: É uma técnica usada para contar quantos grupos de p elementos podemos formar a partir de um conjunto de n elementos, onde a ordem dos elementos no grupo não importa.
- Aplicação: Para formar as cores secundárias, precisamos escolher um grupo de 2 cores primárias a partir de um conjunto de 3. Como a combinação de “amarelo com azul” é a mesma que “azul com amarelo” (ambas resultam em verde), a ordem não importa, então usamos a combinação.
- Fórmula: Cₙ,ₚ = n! / [p! * (n-p)!]
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Imagine que você tem um “kit de criação de cores” com as seguintes regras:
- Cores Base: Você tem 3 símbolos base (para azul, amarelo, vermelho).
- Misturas: Você pode criar novas cores misturando exatamente 2 símbolos base.
- Ajuste de Tom: Para cada cor que você criou (base ou mistura), você pode deixá-la como está (tom normal), ou adicionar um símbolo de “claro” (quadrado branco) ou um símbolo de “escuro” (quadrado preto).
- Cores Especiais: Os símbolos de claro (branco) e escuro (preto) também podem ser usados sozinhos para representar as cores branco e preto.
Nossa tarefa é contar todo o “catálogo” de cores que podemos criar com esse kit.
Estratégia Geral 📌
A estratégia é a de “dividir para conquistar”:
- Caso 1: Cores Cromáticas:
a. Contar o número de cores primárias.
b. Contar o número de cores secundárias.
c. Somar para ter o total de “matizes” de cor. - Caso 2: Variações de Tom:
a. Para cada matiz de cor do Caso 1, contar quantas variações de tom existem (claro, escuro, normal).
b. Multiplicar o total de matizes pelo total de tons. - Caso 3: Cores Acromáticas:
a. Contar as cores especiais (preto e branco). - Resultado Final: Somar o resultado do Caso 2 com o do Caso 3.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
Etapa 1: Contagem das Cores Cromáticas (Matizes)
- Cores Primárias: O texto diz que o sistema identifica as 3 cores primárias (azul, amarelo, vermelho).
- Total de Primárias = 3
- Cores Secundárias: São formadas pela “justaposição de dois desses símbolos”. Isso significa escolher 2 cores primárias de um total de 3. Como a ordem não importa (amarelo+azul = azul+amarelo), usamos combinação.
- C₃,₂ = 3! / [2! * (3-2)!] = 3! / (2! * 1!) = (3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * 1) = 3.
- Total de Secundárias = 3 (Verde, Laranja, Roxo)
- Total de Matizes = Primárias + Secundárias = 3 + 3 = 6 cores.
Etapa 2: Contagem das Variações de Tom
- Para cada uma das 6 cores cromáticas, existem 3 possibilidades de tom:
- Tom Normal (só o símbolo da cor)
- Tom Claro (símbolo da cor + quadrado branco)
- Tom Escuro (símbolo da cor + quadrado preto)
- Usando o Princípio Multiplicativo:
Total de Variações Cromáticas = (Total de Matizes) × (Número de Tons)
Total de Variações Cromáticas = 6 × 3 = 18
Verificação Intermediária 📌
Até aqui, calculamos todas as cores “coloridas” possíveis: 3 primárias e 3 secundárias, cada uma em 3 tons, totalizando 18 variações.
Etapa 3: Contagem das Cores Acromáticas
- O texto diz que o preto e o branco são identificados por seus próprios símbolos (quadrado cheio e vazio).
- Total de Acromáticas = 2 (Preto e Branco)
Etapa 4: Cálculo do Total Geral
- Total de Cores = (Total de Variações Cromáticas) + (Total de Acromáticas)
- Total de Cores = 18 + 2
- Total de Cores = 20
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha seria contar errado as variações de tom. Alguém poderia pensar que, para cada cor, só há duas opções (clara ou escura), esquecendo que a própria cor, sem nenhum modificador de tom, já é uma opção válida (o tom “normal”). Isso levaria ao cálculo 6 x 2 = 12, e um resultado final de 12 + 2 = 14 (Alternativa A). Outra armadilha seria esquecer de somar o preto e o branco no final, ficando apenas com 18 (Alternativa B).
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo sistemático e dividido em casos nos levou ao total de 20 cores. Vamos agora verificar as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 14
B) 18
C) 20
D) 21
E) 23
Justificativa Individual
- 🔴 A) 14: Incorreta. Este valor é obtido se considerarmos apenas os tons “claro” e “escuro”, esquecendo o tom “normal” (6 cores × 2 tons + 2 = 14).
- 🔴 B) 18: Incorreta. Este é o número de variações de cores cromáticas, mas esquece de somar as cores acromáticas (preto e branco).
- 🟢 C) 20: Correta. É a soma das 18 variações de cores cromáticas (6 matizes × 3 tons) com as 2 cores acromáticas (preto e branco).
- 🔴 D) 21: Incorreta. Poderia ser o resultado se contássemos a combinação das 3 cores primárias como uma cor terciária (3P + 3S + 1T = 7 matizes; 7 x 3 = 21 tons), mas o texto não menciona essa possibilidade.
- 🔴 E) 23: Incorreta. Resultado de um erro de cálculo, talvez 21 + 2.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
A contagem total de cores foi obtida pela soma de dois grupos: as cores cromáticas com suas variações e as cores acromáticas. Calculamos 6 matizes de cores (3 primárias + 3 secundárias). Cada matiz pode ter 3 tons (normal, claro, escuro), totalizando 18 variações. Adicionando as 2 cores acromáticas (preto e branco), chegamos ao total final de 20.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a C) 20.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Em problemas de contagem, separe em casos! Divida o problema em partes menores e mais fáceis de contar. Depois, use o Princípio Aditivo (para somar os casos) ou o Multiplicativo (para combinar as etapas dentro de um caso) para chegar ao resultado final.
