Questão 176 caderno azul ENEM 2012 Dia 2

Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m² e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m²).

A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é

A) 20,25.

B) 4,50.

C) 0,71.

D) 0,50.

E) 0,25.

📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Estatística Básica (Desvio Padrão e Variância)
Conversão de Unidades
Razão e Proporção

🎯 Tema/Objetivo Geral: Conversão de unidades de um desvio padrão e posterior cálculo da variância.

🎯 Nível da Questão: Difícil – A questão é considerada difícil porque combina múltiplos passos e conceitos de áreas diferentes da matemática. O aluno precisa: 1) Conhecer a relação entre variância e desvio padrão. 2) Realizar uma conversão de unidades complexa, que envolve duas grandezas simultaneamente (massa e área), e que estão no denominador e numerador de uma fração. 3) Elevar o resultado ao quadrado. A chance de cometer um erro em qualquer uma dessas etapas é alta.

✅ Gabarito: E) 0,25. A alternativa está correta. Primeiro, o desvio padrão de 90 kg/talhão é convertido para 0,5 sacas/hectare. Em seguida, para encontrar a variância, eleva-se o desvio padrão ao quadrado (0,5²), o que resulta em 0,25 (sacas/hectare)².

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

Transcrição Essencial 📌
“A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é”

O que está sendo pedido?📌
A questão nos dá o valor do desvio padrão em uma unidade de medida ( kg/talhão ) e nos pede para calcular a variância em uma nova unidade de medida ((sacas/hectare)²).

Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é: 1) Converter a unidade do desvio padrão de ” kg/talhão ” para “sacas/hectare”. 2) Calcular a variância a partir do desvio padrão convertido.

Pergunta de Atenção ✔
Você reparou que a pergunta pede a variância e o dado fornecido é o desvio padrão? E que as unidades também precisam ser convertidas? Temos duas tarefas importantes a fazer antes de chegar à resposta final!

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Contéudos Necessários

Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos ser especialistas em três coisas:

Relação entre Desvio Padrão e Variância:
- Desvio Padrão (DP): É uma medida que indica o quão dispersos os dados estão em relação à média. É expresso na mesma unidade dos dados originais (ex: kg, metros).
- Variância (Var): É o desvio padrão elevado ao quadrado. É uma medida de dispersão matematicamente importante, mas sua unidade é o quadrado da unidade original (ex: kg², metros²).
- Fórmula Fundamental: Variância = (Desvio Padrão)² ou Var = DP²

Conversão de Unidades: Precisamos converter duas unidades independentemente:
- Área: De talhão para hectare (ha).
  - 1 talhão = 30.000 m²
  - 1 hectare = 10.000 m²
  - Relação: 1 talhão = 3 hectares
- Massa: De quilograma (kg) para saca.
  - 1 saca = 60 kg
  - Relação: para converter kg para sacas, dividimos a massa em kg por 60.

Conversão de Taxas (Razões):
- Explicação: A unidade que temos é uma taxa ( kg/talhão ). Para convertê-la, precisamos converter o numerador (kg → sacas) e o denominador (talhão → hectare) e depois montar a nova fração.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

Contextualização Simplificada 📌
Imagine que um relatório de desempenho de um corredor te dá a “variação de velocidade” (desvio padrão) dele em “metros por minuto”. Mas você precisa apresentar esse dado para uma competição internacional em que a unidade padrão é “quilômetros por hora ao quadrado” (variância).
Sua tarefa tem duas partes:

Primeiro, pegar o dado em “metros por minuto” e converter para “quilômetros por hora”.
Depois, pegar esse novo número e elevá-lo ao quadrado para achar a variância.
O problema do café é exatamente esse, mas com unidades de agricultura.

Estratégia Geral 📌
A estratégia é uma sequência clara de ações:

Converter a massa do DP: Transformar os 90 kg em sacas.
Converter a área do DP: Transformar 1 talhão em hectares.
Montar o novo DP: Criar a nova taxa em “sacas/hectare”.
Calcular a Variância: Elevar o novo desvio padrão ao quadrado.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

Passo a Passo Detalhado 📌

Etapa 1: Converter o Desvio Padrão para as novas unidades

Valor Original do Desvio Padrão (DP): 90 kg / 1 talhão
Conversão do Numerador (Massa):
- Sabemos que 1 saca = 60 kg.
- Para converter 90 kg para sacas, fazemos:
  Nº de sacas = 90 kg / 60 kg/saca = 1,5 sacas
Conversão do Denominador (Área):
- Sabemos que 1 talhão = 30.000 m² e 1 hectare = 10.000 m².
- Para converter 1 talhão para hectares, fazemos:
  Nº de hectares = 30.000 m² / 10.000 m²/hectare = 3 hectares
Montagem do Novo Desvio Padrão:
- Agora, substituímos os valores convertidos na fração original:
  DP = (1,5 sacas) / (3 hectares)
  DP = 0,5 sacas/hectare

Verificação Intermediária 📌
Até aqui, descobrimos que o desvio padrão de 90 kg por talhão é exatamente equivalente a um desvio padrão de 0,5 sacas por hectare. Já fizemos a parte mais difícil!

Etapa 2: Calcular a Variância

Agora que temos o Desvio Padrão na unidade correta, basta usar a fórmula da variância.
Variância = (Desvio Padrão)²
Variância = (0,5 sacas/hectare)²
Variância = 0,5 * 0,5
Variância = 0,25
A unidade da variância será o quadrado da unidade do desvio padrão:
Unidade = (sacas/hectare)² = (sacas/hectare)²

Possível armadilha ❓/ ✔
Existem várias armadilhas aqui. A primeira é esquecer de converter as unidades e calcular 90² = 8100. A segunda é converter as unidades, chegar a 0,5, e marcar a alternativa D, esquecendo que a questão pede a variância, e não o novo desvio padrão. A terceira é errar a conversão, por exemplo, multiplicando em vez de dividir, ou confundindo as relações entre as unidades.

Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a uma variância de 0,25 (sacas/hectare)². Vamos agora procurar este valor nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

Listagem das Alternativas
A) 20,25.
B) 4,50.
C) 0,71.
D) 0,50.
E) 0,25.

Justificativa Individual

🔴 A) 20,25: Incorreta. Este valor (4,5²) poderia surgir de um erro grave de cálculo ou de conversão.
🔴 B) 4,50: Incorreta. Este valor seria o resultado de 1,5 * 3, ou 90 / (60/3), uma confusão completa nas operações de conversão.
🔴 C) 0,71: Incorreta. Aproximadamente √0,5. Seria como tirar a raiz do desvio padrão, o oposto do que foi pedido.
🔴 D) 0,50: Incorreta. Este é o valor do desvio padrão convertido para a nova unidade, mas a pergunta pede a variância. É o distrator mais forte.
🟢 E) 0,25: Correta. É o valor exato da variância, obtido ao elevar o desvio padrão convertido (0,5) ao quadrado.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

Resumo do Raciocínio 📌
A resolução do problema foi feita em duas etapas principais. Primeiro, o desvio padrão foi convertido da unidade ” kg/talhão ” para “sacas/hectare”, resultando em 0,5 sacas/hectare. Em seguida, a variância foi calculada elevando-se o novo valor do desvio padrão ao quadrado (0,5²), o que nos deu o resultado final de 0,25 (sacas/hectare)².

Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a E) 0,25.

Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Em problemas de conversão de unidades seguidos por cálculo, siga a ordem: 1º Converta, 2º Calcule. E lembre-se sempre da relação fundamental: Variância é o Desvio Padrão ao Quadrado.

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