Um dos estádios mais bonitos da Copa do Mundo na África do Sul é o Green Point, situado na Cidade do Cabo, com capacidade para 68 000 pessoas.
CENTAURO. Ano 2, edição 8, mar./abr, 2010.
Em certa partida, o estádio estava com 95% de sua capacidade, sendo que 487 pessoas não pagaram o ingresso que custava 150 dólares cada.
A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é
A) 0,95 × 68000 × 150 – 487
B) 0,95 × (68000 – 487) × 150
C) (0,95 × 68000 – 487) × 150
D) 95 × (68000 – 487) × 150
E) (95 × 68000 – 487) × 150
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Aritmética (Porcentagem), Expressões Numéricas (Ordem das Operações).
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem matemática de uma situação-problema, traduzindo um cenário do mundo real para uma expressão numérica correta.
Nível da Questão:
Fácil. A questão é considerada fácil pois envolve a aplicação direta de conceitos aritméticos básicos (porcentagem, subtração e multiplicação) em uma sequência lógica. O principal ponto de atenção é a correta utilização de parênteses para garantir a ordem das operações, o que é um conceito fundamental.
Gabarito:
A alternativa correta é a C. Ela está correta porque a expressão calcula primeiro o número exato de pessoas que pagaram o ingresso (total de presentes menos os não pagantes) e só depois multiplica esse resultado pelo valor do ingresso.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A expressão que representa o valor arrecadado nesse jogo, em dólares, é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para montarmos a fórmula matemática (a expressão numérica) que calcula o faturamento total com a venda de ingressos do jogo.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é construir uma única expressão matemática que represente o cálculo da receita total, seguindo a ordem correta das informações: calcular o público presente, subtrair os não pagantes e multiplicar pelo preço do ingresso.
1.4 Pergunta de Atenção
Você já parou para pensar por que, ao calcular, precisamos primeiro descobrir o número de pagantes antes de multiplicar pelo preço? A ordem das operações faz toda a diferença no resultado final!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos entender os seguintes conceitos:
- Porcentagem (%): É uma forma de representar uma parte de um todo de 100. Para usar em cálculos, geralmente transformamos a porcentagem em um número decimal.
- Cálculo: 95% = 95 / 100 = 0,95.
- Para encontrar “95% de um valor”, multiplicamos esse valor por 0,95.
- Expressão Numérica: É uma sequência de números e operações matemáticas (soma, subtração, multiplicação, etc.).
- Ordem das Operações (Uso de Parênteses): Em uma expressão, as operações dentro de parênteses ( ) devem ser resolvidas primeiro. Eles servem para agrupar cálculos que precisam ser feitos antes dos outros, garantindo que a lógica do problema seja seguida.
- No nosso problema: Precisamos primeiro encontrar o número de pagantes. Essa conta (uma subtração) deve ser colocada entre parênteses para ser resolvida antes da multiplicação final pelo preço do ingresso.
- Princípio da Arrecadação: A lógica para calcular a receita de um evento é sempre a mesma.
- Fórmula: Arrecadação Total = (Número de Pagantes) × (Preço por Ingresso)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você é o gerente financeiro do estádio. Para calcular o lucro, você não pode simplesmente multiplicar o público pelo preço do ingresso, porque algumas pessoas não pagaram! O seu raciocínio lógico seria:
- Primeiro, descubro quantas pessoas estavam no estádio (95% da capacidade).
- Desse total, eu “retiro” da minha conta as 487 pessoas que não pagaram. O resultado é o número de pessoas que realmente geraram receita.
- Aí sim, eu pego esse número de pagantes e multiplico pelo preço do ingresso para achar o faturamento.
A questão pede para escrever todo esse raciocínio em uma única linha de matemática.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é construir a expressão passo a passo, seguindo a lógica do gerente:
- Escrever a expressão para o total de pessoas presentes.
- Dentro de parênteses, subtrair o número de não pagantes para encontrar a expressão do número de pagantes.
- Multiplicar toda essa expressão entre parênteses pelo valor do ingresso.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos construir a expressão seguindo nossa estratégia.
- Etapa 1: Encontrar o total de pessoas presentes no estádio.
- Capacidade total: 68.000 pessoas.
- Ocupação: 95%, que é o mesmo que 0,95.
- Expressão para o público presente: 0,95 × 68.000
- Etapa 2: Encontrar o número de pessoas que pagaram o ingresso.
- Para isso, pegamos o público presente e subtraímos os não pagantes.
- Não pagantes: 487 pessoas.
- Expressão para o número de pagantes: (0,95 × 68.000 – 487)
- Usamos os parênteses aqui para garantir que essa conta seja feita primeiro, pois ela representa uma única ideia: “o grupo de pagantes”.
- Etapa 3: Calcular o valor total arrecadado.
- Preço do ingresso: 150 dólares.
- A arrecadação é o número de pagantes multiplicado pelo preço.
- Expressão final para a arrecadação: (0,95 × 68.000 – 487) × 150
4.2 Verificação Intermediária
A expressão que montamos segue a lógica perfeitamente: o parêntese calcula o número de clientes pagantes, e o resultado desse cálculo é multiplicado pelo preço. A ordem está correta.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha aqui é a ordem das operações. Se você escrevesse sem os parênteses, 0,95 × 68.000 – 487 × 150, a regra matemática padrão faria você multiplicar 487 × 150 primeiro, o que não faz nenhum sentido no contexto do problema (seria como calcular a “dívida” dos não pagantes e subtrair do faturamento total de todos, o que não foi pedido). Os parênteses são essenciais para forçar a ordem correta do raciocínio.
4.4 Fechamento e expectativa
A expressão correta que representa a arrecadação é (0,95 × 68.000 – 487) × 150. Agora, vamos procurar a alternativa que corresponde exatamente a esta montagem.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 0,95 × 68000 × 150 – 487
B) 0,95 × (68000 – 487) × 150
C) (0,95 × 68000 – 487) × 150
D) 95 × (68000 – 487) × 150
E) (95 × 68000 – 487) × 150
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 0,95 × 68000 × 150 – 487: Incorreta. Calcula a arrecadação como se todos tivessem pago e depois subtrai um valor de R$ 487, e não a arrecadação perdida com 487 pessoas.
- (🔴) B) 0,95 × (68000 – 487) × 150: Incorreta. Subtrai os não pagantes da capacidade total do estádio antes de calcular os 95% de ocupação. A ordem lógica está errada.
- (🟢) C) (0,95 × 68000 – 487) × 150: Correta. Esta expressão segue a lógica perfeita: (público presente – não pagantes) * preço.
- (🔴) D) 95 × (68000 – 487) × 150: Incorreta. Usa o número 95 em vez de 0,95 para a porcentagem, o que geraria um resultado absurdamente grande.
- (🔴) E) (95 × 68000 – 487) × 150: Incorreta. Pelo mesmo motivo da alternativa D, usa 95 em vez de 0,95.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para construir a expressão correta, seguimos a sequência lógica dos eventos: primeiro, calculamos o número total de pessoas presentes (95% de 68.000); em segundo, subtraímos os não pagantes para obter o número de pagantes; por fim, multiplicamos este grupo pelo preço do ingresso. O uso de parênteses foi essencial para garantir essa ordem.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) (0,95 × 68000 – 487) × 150.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para traduzir problemas em expressões matemáticas é: use parênteses para “isolar” um cálculo que representa uma ideia completa. Aqui, (total de presentes – não pagantes) representa a ideia “número de pagantes”.
