Certa marca de suco é vendida no mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário determinar a altura da nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Espacial (Volume do Cilindro), Álgebra (Manipulação de Equações).
Tema/Objetivo Geral:
Relacionar as dimensões de dois cilindros a partir de uma relação entre seus volumes e raios.
Nível da Questão:
Difícil. A questão é considerada difícil porque exige uma forte capacidade de abstração e manipulação algébrica. O aluno precisa traduzir as relações de proporção do texto em equações, trabalhar com múltiplas variáveis (V1, V2, r1, r2, h, a) e, através de substituições e simplificações, chegar a uma relação final entre apenas duas delas (a e h).
Gabarito:
A alternativa correta é a D. A resposta está correta porque, ao igualar as expressões de volume e substituir as relações entre raios e volumes, a manipulação algébrica leva à conclusão de que a nova altura (a) é igual a quatro terços da altura original (h), ou a = 4h/3.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Que expressão relaciona a medida da altura da nova embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional (h)?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos uma fórmula matemática que mostre como a nova altura a depende da altura antiga h.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar as equações de volume para as duas embalagens, inserir as relações de tamanho dadas no enunciado e, através da manipulação dessas equações, isolar a variável a em função da variável h.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que o problema envolve três mudanças simultâneas: no volume, no raio e na altura? A chave é traduzir cada uma dessas mudanças para a linguagem da matemática!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, o conceito principal é o de Volume de um Cilindro.
- O que é? É a medida do espaço interno de uma embalagem cilíndrica. Representa a capacidade, ou seja, quanto suco cabe dentro dela.
- Fórmula: V = π * r² * h
- Termos:
- V: Volume.
- π (pi): Constante matemática.
- r: Raio da base circular.
- h: Altura do cilindro.
- Manipulação Algébrica: É o processo de trabalhar com equações (substituindo uma na outra, isolando variáveis, simplificando) para encontrar a relação que desejamos.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Uma fábrica produz uma embalagem de suco (vamos chamar de “Embalagem 1”). Eles decidem lançar uma “Embalagem 2”, menor. As regras da mudança são:
- O volume da Embalagem 2 é um terço (1/3) do volume da Embalagem 1.
- O raio da Embalagem 2 é metade (1/2) do raio da Embalagem 1.
Sabendo disso, a altura da Embalagem 2 teve que ser ajustada para que tudo “fechasse”. A pergunta é: qual a relação matemática entre a altura nova (a) e a altura antiga (h)? A altura nova é maior, menor, igual? E por quanto?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será puramente algébrico:
- Escrever as fórmulas do volume para a embalagem antiga (V1) e para a nova (V2).
- Traduzir as informações do texto (“volume é a terça parte”, “raio é a metade”) em equações que relacionam V1 com V2 e r1 com r2.
- Substituir essas relações na equação de V1, de modo que ela fique em função das variáveis da embalagem nova (V2 e r2).
- Igualar essa nova expressão de V1 (em termos de V2) com a expressão original de V2 para encontrar a relação entre a e h.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia.
- 1. Escrevendo as fórmulas dos volumes:
- Volume Antigo: V1 = π * (r1)² * h
- Volume Novo: V2 = π * (r2)² * a
- 2. Traduzindo as relações do enunciado:
- Relação de Volume: “reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade”
V2 = V1 / 3 ou, de forma equivalente, V1 = 3 * V2 - Relação de Raio: “reduziu à metade o valor do raio da base”
r2 = r1 / 2 ou, de forma equivalente, r1 = 2 * r2
- Relação de Volume: “reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de sua capacidade”
- 3. Relacionando as equações:
- Nosso objetivo é comparar a e h. Vamos começar com a equação do volume antigo e substituir as informações que temos.
V1 = π * (r1)² * h - Sabemos que V1 = 3 * V2 e que r1 = 2 * r2. Vamos substituir isso na equação acima:
(3 * V2) = π * (2 * r2)² * h
- Nosso objetivo é comparar a e h. Vamos começar com a equação do volume antigo e substituir as informações que temos.
- 4. Simplificando a nova equação:
- 3 * V2 = π * (4 * r2²) * h
- Agora, vamos substituir V2 pela sua fórmula original (V2 = π * r2² * a):
3 * (π * r2² * a) = π * 4 * r2² * h
- 5. Isolando a relação entre a e h:
- Temos a equação: 3 * π * r2² * a = 4 * π * r2² * h
- Note que temos os termos π e r2² dos dois lados da igualdade. Podemos “cortá-los” (dividir ambos os lados por π * r2²).
- Sobra: 3 * a = 4 * h
- Agora, para encontrar a expressão de a em função de h, passamos o 3 dividindo:
a = (4 * h) / 3 ou a = 4h/3
4.2 Verificação Intermediária
O resultado a = 4h/3 significa que a nova altura é maior que a antiga (pois 4/3 > 1). Isso faz sentido? Sim. O volume foi reduzido para 1/3, mas o raio foi reduzido à metade. Como o volume depende do raio ao quadrado (r²), a redução do raio teve um impacto muito maior (de um fator de (1/2)² = 1/4) na redução do volume. Para compensar e atingir a redução de apenas 1/3, a altura teve que aumentar. O resultado é coerente.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é se confundir na álgebra, especialmente ao lidar com os quadrados (ex: esquecer que (2r)² = 4r²). Outro erro seria pensar que, como o volume e o raio diminuíram, a altura também deveria diminuir, levando a uma busca por uma resposta com h dividido por algum número.
4.4 Fechamento e expectativa
O nosso cálculo algébrico nos levou à relação a = 4h/3. Agora, vamos procurar essa expressão nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) a = h / 12
B) a = h / 6
C) a = 2h / 3
D) a = 4h / 3
E) a = 4h / 9
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A, B, C: Incorretas. Essas alternativas sugerem que a nova altura a é menor que a antiga h, o que contradiz nosso cálculo.
- (🟢) D) a = 4h / 3: Correta. Corresponde exatamente à expressão que derivamos através da manipulação das fórmulas de volume.
- (🔴) E) a = 4h / 9: Incorreta. Provavelmente resultado de um erro no expoente ou na simplificação da equação.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, estabelecemos as equações de volume para as duas embalagens. Em seguida, traduzimos as relações de tamanho (volume e raio) fornecidas no texto em equações algébricas. Substituindo essas relações na fórmula do volume e simplificando a equação resultante, conseguimos isolar a relação direta entre a nova altura a e a altura original h.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) a = 4h / 3.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que relacionam dimensões de figuras geométricas, a estratégia mais segura é escrever as fórmulas fundamentais (como a do volume) e usar a álgebra para substituir e simplificar até chegar na relação desejada.
