Estudantes de psicologia experimental estão analisando um modelo matemático que foi desenvolvido a partir de um experimento com pombos. Nesse experimento, um alimento considerado como uma recompensa reforçadora era fornecido em quantidades (Q) para as aves, com a possibilidade de atraso no tempo de entrega. O modelo matemático que relaciona os valores reforçadores V1 e V2 de duas recompensas em função de suas respectivas quantidades Q1 e Q2 e de seus respectivos tempos de atraso T1 e T2 na disponibilização de cada uma delas é:
Ao analisarem o caso em que a quantidade Q1 é o dobro da quantidade Q2, cinco estudantes fizeram as seguintes afirmações sobre em que condição o valor V1 será maior que o valor V2 :
estudante 1: sempre, pois Q1 é o dobro de Q2 ;
estudante 2: apenas quando a razão entre T2 e T1 for maior que 0,5;
estudante 3: apenas quando a razão entre T2 e T1 for menor que 0,5;
estudante 4: apenas quando T1 for igual a T2 ;
estudante 5: apenas quando a razão entre T2 e T1 for maior que 0,5 e menor que 1.
Qual estudante fez a afirmação correta?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra (Manipulação de Equações), Razão e Proporção e Análise de Inequações.
Tema/Objetivo Geral: Analisar a relação de dependência entre múltiplas variáveis em um modelo matemático para determinar condições de desigualdade.
Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do nível: Embora a matemática envolvida seja de proporções, a questão é considerada difícil por exigir uma interpretação interdisciplinar (Psicologia + Matemática) e a capacidade de realizar substituições algébricas abstratas. O candidato precisa lidar com quatro variáveis simultâneas e entender como a mudança em uma (quantidade) exige uma compensação específica na outra (tempo) para manter uma desigualdade.
Gabarito: B.
- Resumo: Ao substituir Q1 pelo dobro de Q2 na fórmula, a razão V1/V2 passa a ser 2 multiplicado pela razão T2/T1. Para que V1 seja maior que V2, essa conta toda deve resultar em um valor maior que 1, o que só acontece se T2/T1 for maior que 0,5.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “O pombo prefere a recompensa 1 ou a 2? Sabemos que a 1 tem o dobro de comida, mas o tempo de espera também conta. Sob qual regra matemática exata o valor da primeira recompensa ganha da segunda?”.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma escolha de lanche por aplicativo. O Lanche 1 é o dobro do tamanho do Lanche 2. Porém, se o Lanche 1 demorar demais para chegar, ele perde o valor para você. O verdadeiro desafio aqui é descobrir o “ponto de equilíbrio” onde o tamanho dobrado do lanche ainda compensa a demora na entrega.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Isolar a condição de vitória: V1 deve ser maior que V2 (ou seja, V1 / V2 > 1).
- Inserir a pista crucial: Substituir Q1 por 2 vezes Q2 na fórmula original.
- Simplificar a equação para eliminar as variáveis de quantidade.
- Resolver a inequação resultante para encontrar a regra que os tempos (T) devem seguir.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar esse enigma comportamental, vamos organizar um Dossiê de Relações de Proporcionalidade. Bold total no que é essencial para o raciocínio:
Dossiê Técnico: O Modelo da Recompensa
1. Proporcionalidade Direta (A Quantidade Q):
Na fórmula, Q1 está no numerador. Isso significa que, quanto maior a quantidade de comida, maior o valor (V1) da recompensa. Pombos gostam de fartura!
2. Proporcionalidade Inversa (O Tempo T):
Note que T1 está no denominador da fração da direita (T2 / T1). Isso significa que, quanto maior o atraso (T1), menor o valor (V1) percebido. A espera “castiga” a recompensa.
3. A Condição de Superioridade:
Para que V1 seja maior que V2, a divisão V1 / V2 precisa resultar em um número maior que 1. Se der 1, são iguais. Se der menos de 1, V2 é melhor.
4. Manipulação da Razão:
A ferramenta chave é a simplificação de frações. Quando temos a mesma variável em cima e embaixo (como Q2), elas se anulam, deixando o caminho livre para analisarmos apenas o que restou (os tempos T).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Bora lá, Investigador, vamos colocar a mão na massa e fazer essa fórmula confessar a verdade:
Fase 1: A Substituição de Identidade
A fórmula dada é: V1 / V2 = (Q1 / Q2) * (T2 / T1)
O texto diz que Q1 = 2 * Q2.
Substituindo na fórmula, temos:
V1 / V2 = (2 * Q2 / Q2) * (T2 / T1)
Fase 2: A Limpeza Algébrica
Os termos Q2 se cancelam (um dividindo o outro dá 1).
A fórmula limpa fica assim:
V1 / V2 = 2 * (T2 / T1)
Fase 3: O Estabelecimento da Inequação
Queremos saber quando V1 > V2.
Isso é o mesmo que dizer: V1 / V2 > 1.
Então:
2 * (T2 / T1) > 1
Fase 4: O Golpe Final
Passamos o 2, que está multiplicando, para o outro lado dividindo:
(T2 / T1) > 1 / 2
Ou, em decimais:
(T2 / T1) > 0,5
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o raciocínio do Estudante 1. Ele pensa: “Ora, se tem o dobro de comida, é óbvio que é melhor!”. Brutal engano! Ele ignora que o tempo de atraso pode ser tão grande que anula o benefício da comida extra. Na psicologia experimental e na matemática, nunca ignore uma variável no denominador!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Com a quantidade dobrada, a recompensa 1 larga na frente com uma vantagem de 2 para 1. Para manter essa liderança, a relação entre os tempos de atraso não pode reduzir essa vantagem para menos de 1. O cálculo prova que T2/T1 deve ser superior a 0,5.
Expectativa: O estudante correto deve afirmar que a razão T2/T1 deve ser maior que 0,5.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 1
A “Narrativa do Erro”: O estudante foca apenas na variável Q (quantidade) e assume que uma vantagem ali é absoluta.
O “Diagnóstico do Erro”: Generalização Excessiva. Ele esquece que o modelo é multifatorial. Se Q1 for o dobro mas T1 for dez vezes maior que T2, V1 será menor.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 2
Análise de Correspondência: Bingo! O Estudante 2 realizou a manipulação algébrica correta. Ele percebeu que a vantagem de “2” vinda da quantidade precisa ser multiplicada por uma razão de tempos que mantenha o produto final acima de 1. E 2 * 0,500001 já é maior que 1.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 3
A “Narrativa do Erro”: O estudante inverte a lógica da desigualdade. Talvez ele tenha se confundido ao passar o 2 dividindo ou confundido T1 com T2.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Se a razão for menor que 0,5 (ex: 0,1), o resultado seria 2 * 0,1 = 0,2, o que tornaria V2 muito maior que V1.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 4
A “Narrativa do Erro”: O estudante busca uma solução de equilíbrio perfeito (T1 = T2), onde a razão seria 1.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Embora V1 seja maior que V2 quando T1 = T2 (pois daria 2 * 1 = 2), essa não é a única condição. A questão pergunta pela condição geral.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 5
A “Narrativa do Erro”: O estudante cria uma restrição inexistente (menor que 1), talvez achando que T2 não pode ser maior que T1.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Não há nada no modelo matemático que impeça T2/T1 de ser, por exemplo, 5 ou 10. Se for maior que 0,5, a condição V1 > V2 já está garantida.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta correta é a B, personificada pelo Estudante 2, que decifrou a inequação fundamental do modelo.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Quantidade dobra (x2)? Então o atraso não pode encolher o valor em mais de 50% (x0,5).
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse modelo matemático é uma simplificação da famosa Lei de Igualação de Herrnstein, usada na Psicologia e na Economia Comportamental. Ela explica o fenômeno do Desconto Hiperbólico: por que preferimos R$ 100 reais agora do que R$ 200 reais daqui a um ano? Nosso cérebro “desconta” o valor da recompensa conforme o tempo passa. É o mesmo princípio que faz você escolher um doce hoje em vez de uma saúde melhor daqui a 10 anos. A matemática dos pombos é, na verdade, a matemática das nossas tentações!
