Em uma sala escura há um ponto luminoso, a mais de 3 metros de distância de uma parede, e um disco pendurado, paralelo à parede, entre ela e o ponto luminoso. O disco encontra-se a 1 metro de distância do ponto luminoso, projetando uma sombra S1 , em formato de círculo, na parede. Esse disco é afastado mais 2 m do ponto luminoso, em direção à sombra e sem encostar na parede, projetando outra sombra S2, também no formato de um círculo.
Sejam A1 a área de S1 e A2 a área de S2. O valor de A1/A2 é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 9.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Plana e Espacial (Áreas de Círculos) e Semelhança de Triângulos (Proporcionalidade).
Tema/Objetivo Geral: Analisar a variação da área de uma sombra projetada a partir da alteração da distância entre a fonte luminosa e o objeto opaco.
Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do nível: O desafio reside na interpretação da geometria da cena e na aplicação da regra de que a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança. Além disso, há uma “pegadinha” textual sobre o deslocamento do disco que exige atenção redobrada do investigador.
Gabarito: E.
- Resumo: Como o disco se afasta de 1 metro para 3 metros da fonte, o raio da sombra diminui para um terço do tamanho original. Como a área depende do raio ao quadrado, a razão entre a área inicial (maior) e a final (menor) é de 3 ao quadrado, resultando em 9.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “O disco mudou de lugar e a sombra mudou de tamanho. Calcule quantas vezes a primeira sombra é maior que a segunda”.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma lanterna e sua mão. Se você aproxima a mão da lanterna, a sombra na parede fica gigante. Se afasta, ela encolhe. O verdadeiro desafio aqui é entender que, na matemática das sombras, se você triplica a distância, o tamanho da sombra não divide por 3, mas sim a sua área divide por 9.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Identificar as distâncias reais do disco em relação à luz nos dois momentos.
- Estabelecer a razão de semelhança entre os raios das sombras.
- Aplicar a lei das áreas (razão linear ao quadrado).
- Dividir A1 por A2 para chegar ao veredito.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar este enigma luminoso, vamos organizar nosso Dossiê Técnico de Proporcionalidade. Sem códigos complicados, apenas lógica pura:
Dossiê de Investigação: A Geometria das Sombras
- 1. Semelhança de Triângulos: O ponto luminoso funciona como o vértice de um cone de luz. O disco e sua sombra são bases de triângulos semelhantes. A regra é clara: Raio da Sombra / Raio do Disco = Distância da Parede / Distância do Disco.
- 2. O Fator de Encolhimento (k): Se a distância do objeto até a luz aumenta, a sombra diminui. A razão entre os raios das duas sombras (r1 e r2) é inversamente proporcional às distâncias do disco à luz.
- 3. A Lei das Áreas: Esta é a ferramenta mestra. Se a razão entre dois comprimentos (raios) é k, a razão entre suas áreas será k ao quadrado.
- 4. Atenção ao Texto: “Afastado mais 2 metros”. Isso significa que a distância antiga (1m) somou-se à nova (2m).
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Bora lá, Investigador, vamos colocar a mão na massa e processar esses dados:
Fase 1: O Levantamento das Distâncias
- Momento 1: O disco está a 1 metro do ponto luminoso. Vamos chamar o raio da sombra S1 de R1.
- Momento 2: O disco é afastado mais 2 metros. Então, a nova distância é 1 + 2 = 3 metros do ponto luminoso. Vamos chamar o raio da sombra S2 de R2.
Fase 2: A Proporção dos Raios
Como a parede não mudou de lugar, a distância da luz até a parede é constante (vamos chamar de D).
Pela semelhança:
- R1 é proporcional a D / 1.
- R2 é proporcional a D / 3.
Ao dividirmos R1 por R2, as distâncias D se cancelam e sobra: R1 / R2 = 3.
Isso significa que o raio da primeira sombra é 3 vezes maior que o da segunda.
Fase 3: O Cálculo das Áreas
A área de um círculo é Pi vezes o raio ao quadrado.
- A1 = Pi * (R1) ao quadrado.
- A2 = Pi * (R2) ao quadrado.
Substituindo R1 por 3 * R2:
A1 = Pi * (3 * R2) ao quadrado = 9 * Pi * (R2) ao quadrado.
Fase 4: A Razão Final
A1 / A2 = (9 * Pi * R2 ao quadrado) / (Pi * R2 ao quadrado).
Cortamos os termos iguais e resta: A1 / A2 = 9.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais sedutor aqui é ler “afastado mais 2m” e usar o número 2 nos cálculos. Se você fizer a razão entre 1 e 2, vai achar que a área mudou 4 vezes (2 ao quadrado). Mas a distância total no segundo momento é 3 metros. O examinador adora esconder a distância real atrás da palavra “mais”. Fique atento à cena do crime!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: A distância do disco triplicou (de 1 para 3 metros). Isso faz com que o raio da sombra fique 3 vezes menor. Como a área é uma grandeza bidimensional, ela varia com o quadrado dessa razão. 3 ao quadrado é 9.
Expectativa: O valor da razão A1 / A2 deve ser 9.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 1.
A “Narrativa do Erro”: O aluno pode achar que, como o disco é o mesmo, a sombra não muda de área, ou que o afastamento foi compensado de alguma forma mística.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. As leis da óptica geométrica provam que a variação de distância altera o tamanho da projeção.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
b) 2.
A “Narrativa do Erro”: O aluno foca no número “2” do deslocamento e acha que a razão é linear e direta ao valor do afastamento.
O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Interpretação. Ignorou a distância inicial e a natureza quadrática da área.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
c) 3.
A “Narrativa do Erro”: O aluno percebe que a distância triplicou e conclui que a área também triplicou (ou dividiu por 3).
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (Descrever a parte, não o todo). O aluno encontrou a razão entre os raios (que é 3), mas esqueceu de elevar ao quadrado para achar a razão entre as áreas.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
d) 4.
A “Narrativa do Erro”: O aluno cai na armadilha do deslocamento. Ele usa a distância 2m no lugar da distância total 3m. Ao fazer (2 / 1) ao quadrado, chega em 4.
O “Diagnóstico do Erro”: Confundir o Meio com o Fim. Usou o deslocamento como se fosse a posição final do objeto.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
e) 9.
Análise de Correspondência: Perfeito! Corresponde à aplicação correta da razão de semelhança entre as distâncias (1 para 3) elevada ao quadrado para representar a variação de área (32=932=9).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é a E, fundamentada na lei de que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão entre suas dimensões lineares.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Distância triplicou? O raio encolheu 3 vezes e a área “emagreceu” 9 vezes!
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse conceito de “Lei do Quadrado Inverso” é fundamental na Astronomia. É por isso que, se um planeta estiver duas vezes mais longe de uma estrela que outro, ele não recebe metade da luz, mas sim apenas um quarto (1/4) da luminosidade. O mesmo vale para o sinal de Wi-Fi na sua casa: se você dobra a distância do roteador, a intensidade do sinal cai drasticamente, pois a energia se espalha por uma área que cresce ao quadrado. A matemática das sombras é a mesma que explica por que o sinal cai quando você vai para o quarto!
