Uma cozinheira produz docinhos especiais por encomenda. Usando uma receita-base de massa, ela prepara uma porção, com a qual produz 50 docinhos maciços de formato esférico, com 2 cm de diâmetro. Um cliente encomenda 150 desses docinhos, mas pede que cada um tenha formato esférico com 4 cm de diâmetro.
A cozinheira pretende preparar o número exato de porções da receita-base de massa necessário para produzir os docinhos dessa encomenda.
Quantas porções da receita-base de massa ela deve preparar para atender esse cliente?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 12
E) 24
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume da Esfera) e Razão e Proporção (Escala Volumétrica).
Tema/Objetivo Geral
Comparação de Volumes. O objetivo é entender como a variação no tamanho (raio/diâmetro) de um objeto 3D afeta drasticamente o seu volume (quantidade de massa necessária).
Nível da Questão: Médio
- Embora a conta final seja simples, a questão exige um salto conceitual: compreender que dobrar o tamanho linear não dobra o volume, mas sim o multiplica por oito. Quem usa o senso comum linear erra a questão.
Gabarito: Alternativa E
- A encomenda exige 24 vezes a quantidade de massa de uma receita base, pois os doces maiores consomem muito mais material e a quantidade encomendada é o triplo da produção padrão.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A cozinheira tem uma receita que rende 50 docinhos pequenos. Ela recebeu um pedido de 150 docinhos grandes (o dobro do tamanho). A missão é descobrir quantas receitas ela tem que bater na batedeira para ter massa suficiente.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma bola de neve. Se você fizer uma bola com o dobro da largura, você vai precisar de muito mais neve do que apenas o dobro. A bola cresce para os lados, para cima e para o fundo.
A pergunta é: Quanto de massa “cabe” dentro do doce grande comparado ao doce pequeno?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Comparar os Tamanhos: Ver quanto o doce grande é maior que o pequeno.
- Calcular a Equivalência de Massa: Descobrir quantos docinhos pequenos “cabem” (em volume) dentro de um grande.
- Dimensionar a Encomenda: Calcular o total de receitas necessárias para cobrir o pedido.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para não perdermos tempo com fórmulas gigantes de volume com Pi, vamos usar a Lei da Proporção Cúbica.
A Regra de Ouro do 3D:
Se você multiplica as dimensões (raio ou diâmetro) de um sólido por K, o volume desse sólido fica multiplicado por K ao cubo (K x K x K).
Por que?
Volume = Comprimento x Largura x Altura.
Se você dobra o raio (x2), você dobra o comprimento, dobra a largura e dobra a altura.
Aumento de Volume = 2 x 2 x 2 = 8.
Portanto, não precisamos calcular o volume exato em cm³. Só precisamos saber a razão entre eles.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos analisar os dados da Cozinheira.
1. Comparando os Docinhos:
- Docinho Base (Pequeno): Diâmetro 2 cm (Raio 1 cm).
- Docinho Encomenda (Grande): Diâmetro 4 cm (Raio 2 cm).
O raio dobrou (foi de 1 para 2).
Aplicando a ferramenta da Proporção Cúbica:
Se o raio dobrou (x2), o volume aumentou 2 ao cubo vezes.
2 ao cubo = 8.
Conclusão Poderosa: 1 Docinho Grande gasta a mesma massa que 8 Docinhos Pequenos.
2. Traduzindo a Encomenda:
O cliente quer 150 docinhos grandes.
Vamos converter isso em “equivalente de docinhos pequenos” para saber quanta massa precisamos.
Se 1 grande vale 8 pequenos…
150 grandes valem: 150 x 8 = 1.200 docinhos pequenos.
3. Calculando as Porções:
A receita-base produz 50 docinhos pequenos por vez.
Precisamos de massa suficiente para fazer o equivalente a 1.200 pequenos.
Conta final: 1.200 dividido por 50.
Corte os zeros: 120 dividido por 5.
Resultado: 24 receitas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum é pensar linearmente:
“O cliente quer 150 doces. A receita faz 50. Logo, preciso de 3 receitas.” (Alternativa B).
O aluno esquece que o doce mudou de tamanho!
O segundo erro é pensar na área: “O diâmetro dobrou, então o volume quadruplicou (2 ao quadrado)”. Isso daria 12 receitas (Alternativa D). Lembre-se: Volume é tridimensional, é ao cubo!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio:
O volume de um doce grande é 8 vezes o volume de um pequeno.
A quantidade pedida (150) é o triplo da produção base (50).
Total = 3 x 8 = 24.
Expectativa: Procurar o número 24 nas alternativas.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 2
Diagnóstico do Erro: Chute aleatório ou erro grosseiro de divisão, talvez pensando que a receita rende mais do que o pedido.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 3
Diagnóstico do Erro (O Erro do Iniciante): O aluno calculou apenas a quantidade numérica (150 dividido por 50 = 3), ignorando completamente que o tamanho do doce aumentou.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(C) 6
Diagnóstico do Erro (Linear): O aluno pensou: “Preciso de 3 receitas pela quantidade (150/50). O doce dobrou de tamanho, então multiplico por 2”. 3 x 2 = 6. Esqueceu de elevar ao cubo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 12
Diagnóstico do Erro (Bidimensional): O aluno pensou na área (quadrado) em vez do volume (cubo). Achou que dobrar o raio quadruplica o gasto (2 ao quadrado = 4). Então fez 3 x 4 = 12.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 24
Análise de Correspondência: Raciocínio perfeito. Considerou a triplicação da quantidade numérica (3x) e a octuplicação do volume unitário (2 ao cubo = 8). 3 x 8 = 24.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa E. O volume cresce muito mais rápido que o tamanho.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se o tamanho dobra, o volume ‘octubra’ (2³ = 8). Cuidado com o gigante!”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio (Lei Quadrado-Cubo) explica por que não existem formigas gigantes ou o King Kong na vida real. Se você dobrasse a altura de um animal, o peso dele (volume) aumentaria 8 vezes, mas a força dos ossos (área da seção transversal) aumentaria apenas 4 vezes. As pernas dele quebrariam sob o próprio peso!
