Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.
descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.
O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.
Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
A) 1.
B) 2.
C) 4.
D) 5.
E) 8.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias:
- Funções, Trigonometria, Movimento Periódico.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Análise do Comando:
O enunciado apresenta a função que descreve a altura do pistão:
h(t) = 4 + 4 sen( (β t / 2) – (π / 2) )
em que h é medida em centímetros e t em segundos. Para um motor de boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após t = 0, a altura da base do pistão atinja pela terceira vez o valor de 6 cm.
🔹 Palavras-chave:
- β (parâmetro)
- 6 cm
- menos de 4 segundos
- terceira ocorrência
✔ Objetivo:
Determinar o menor valor inteiro de β (beta) que satisfaça a condição de que a terceira vez que h(t) atinge 6 cm ocorra em t < 4 segundos.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Essenciais:
🔹 Função Seno:
A função sen(x) oscila entre -1 e 1. Sabemos que sen(π/6) = 1/2. Em geral, sen(x) = 1/2 quando:
• x = π/6 + 2πk, ou
• x = 5π/6 + 2πk,
para qualquer número inteiro k.
🔹 Movimento Periódico:
Como a função é periódica, h(t) pode atingir o valor de 6 cm várias vezes. O enunciado exige que a terceira ocorrência aconteça em t < 4 s.
🔹 Aproximação:
Utilizaremos π = 3 para os cálculos.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Interpretação dos Dados:
Para encontrar os instantes em que h(t) = 6 cm, igualamos a função a 6:
6 = 4 + 4 sen( (β t / 2) – (π / 2) )
🔹 Processamento:
Subtraindo 4 de ambos os lados, obtemos:
2 = 4 sen( (β t / 2) – (π / 2) )
Dividindo ambos os lados por 4:
sen( (β t / 2) – (π / 2) ) = 1/2
Como o sen(x) = 1/2 nas posições x = π/6 + 2πk e x = 5π/6 + 2πk, precisamos identificar a terceira vez que isso ocorre para t > 0.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Estabelecendo a Equação para a Terceira Ocorrência:
Para a terceira vez, escolhemos o valor:
(β t / 2) – (π / 2) = 2π + (π / 6)
(ou seja, k = 1 na primeira solução, correspondendo à terceira ocorrência)
🔹 Resolvendo para t:
Some (π / 2) em ambos os lados:
β t / 2 = 2π + (π / 6) + (π / 2)
Utilizando π = 3:
• 2π = 2 × 3 = 6
• π/6 = 3 / 6 = 0,5
• π/2 = 3 / 2 = 1,5
Portanto,
β t / 2 = 6 + 0,5 + 1,5 = 8
Multiplique ambos os lados por 2:
β t = 16
Logo,
t = 16 / β
✔ Condição Temporal:
Como t deve ser menor que 4 segundos:
16 / β < 4
Multiplicando ambos os lados por β:
16 < 4 β
Dividindo ambos os lados por 4:
4 < β
Portanto, β deve ser maior que 4. O menor valor inteiro que satisfaz essa condição é 5.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Alternativas da Questão:
- A) 1
- B) 2
- C) 4
- D) 5
- E) 8
✅ Alternativa Correta:
- ✅ D: O menor valor inteiro de β é 5, pois para β = 5 temos t = 16 / 5, que é menor que 4 s.
❌ Alternativas Incorretas:
- ❌ A, B e C: Valores inferiores a 5 não satisfazem a condição t < 4 s.
- ❌ E: 8 é maior do que o mínimo necessário.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
A condição para boa potência exige que, em menos de 4 s, a função h(t) atinja 6 cm pela terceira vez. Ao igualar
6 = 4 + 4 sen( (β t / 2) – (π / 2) )
obtivemos sen( (β t / 2) – (π / 2) ) = 1/2. Selecionando a terceira ocorrência, estabelecemos
(β t / 2) – (π / 2) = 2π + (π / 6)
e, usando π = 3, chegamos a t = 16 / β. Impor t < 4 s implica β > 4, de modo que o menor valor inteiro é 5.
🔍 Resumo Final:
🔍 Assim, o menor valor inteiro para β, garantindo que a terceira vez que h(t) = 6 cm ocorra em t < 4 s, é 5, confirmando a alternativa D.
✔ Justificativa Final:
O procedimento demonstrou, por meio da resolução da equação da função seno e da aplicação da condição temporal, que β deve ser maior que 4. O menor inteiro que satisfaz essa condição é 5, o que valida a resposta correta.
