Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em texto
📖 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Análise Combinatória, Princípio Fundamental da Contagem.
📊 Nível da Questão: Médio.
✅ Gabarito: Alternativa E.
🎯 Tema/Objetivo Geral: Determinar a opção de senha que satisfaz a condição de estar entre 1 milhão e 2 milhões de possibilidades.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
A empresa precisa escolher um formato de senha que gere um número de combinações maior que 1 milhão e menor que 2 milhões.
Palavras-chave:
- “Número de senhas distintas possíveis” → Indica que devemos calcular as combinações.
- “Superior ao número esperado de clientes” → Deve ser maior que 1 milhão.
- “Não superior ao dobro” → Deve ser menor que 2 milhões.
📌 Objetivo:
Determinar qual opção de formato de senha atende ao critério 1.000.000 ≤ quantidade de senhas < 2.000.000.
⚠️ Dica Geral:
Sempre que uma questão envolver contagem de possibilidades, verifique se há repetição de elementos e quantas opções cada posição pode assumir.
➡️ Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceito 1: Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento ocorre de X maneiras e outro ocorre de Y maneiras, o número total de maneiras possíveis é X × Y.
📌 Conceito 2: Quantidade de opções por caractere
- Letra (L): Pode ser qualquer uma das 26 letras do alfabeto.
- Dígito (D): Pode ser qualquer um dos 10 números (0 a 9).
- Os caracteres podem se repetir, então basta multiplicar as quantidades de opções disponíveis.
📌 Fórmula Geral para contar as combinações de senha:
Número total de senhas possíveis = (número de opções para cada caractere) elevado ao número de caracteres.
➡️ Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A tabela apresenta cinco formatos de senha, cada um com diferentes quantidades de letras e dígitos. Precisamos calcular quantas senhas podem ser geradas por cada formato.
🔹 Opções da tabela (interpretação):
- I – LDDDDD → 1 letra + 5 dígitos.
- II – DDDDDD → 6 dígitos.
- III – LLDDDD → 2 letras + 4 dígitos.
- IV – DDDDD → 5 dígitos.
- V – LLLDD → 3 letras + 2 dígitos.
➡️ Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Agora, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem para cada formato.
Cálculo das possibilidades para cada formato
✔ I – LDDDDD → 26 × 10⁵ = 2.600.000 ❌ (Maior que 2 milhões)
✔ II – DDDDDD → 10⁶ = 1.000.000 ❌ (Igual a 1 milhão, não pode ser)
✔ III – LLDDDD → 26² × 10⁴ = 6.760.000 ❌ (Maior que 2 milhões)
✔ IV – DDDDD → 10⁵ = 100.000 ❌ (Menor que 1 milhão)
✔ V – LLLDD → 26³ × 10² = 1.757.600 ✅ (Entre 1 milhão e 2 milhões)
➡️ Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa correta:
✔ V – LLLDD → 1.757.600 senhas possíveis, que está dentro do intervalo desejado.
❌ Alternativas incorretas:
- A) I – 2.600.000 → Maior que 2 milhões.
- B) II – 1.000.000 → Exatamente 1 milhão (não atende à desigualdade estrita).
- C) III – 6.760.000 → Muito maior que 2 milhões.
- D) IV – 100.000 → Menor que 1 milhão.
⚠️ Dica Geral:
Sempre que o problema envolver limites de quantidade, após os cálculos, verifique se o valor está dentro da faixa desejada. Isso evita erros por desatenção.
➡️ Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
📌 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Interpretamos os formatos de senha e identificamos as regras do problema.
- Aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem para cada formato.
- Calculamos a quantidade de senhas para cada caso.
- Identificamos que apenas a opção V (LLLDD) atende à condição 1.000.000 ≤ senhas < 2.000.000.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa correta: E (LLLDD).
🔍 Resumo Final:
A questão envolve Análise Combinatória e exige que identifiquemos um formato de senha com uma quantidade específica de possibilidades. Usamos contagem de possibilidades e verificamos os valores. Apenas a opção V (LLLDD) gera entre 1 milhão e 2 milhões de senhas, garantindo a resposta correta.
