Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?
A) 8
B) 10
C) 16
D) 18
E) 24
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume do Cubo)
- Álgebra (Uso de variáveis para representar as arestas)
- Razão e Proporção (Regra de Três Simples)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo do tempo de enchimento de um reservatório com base na relação de volumes e vazão constante.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não basta apenas aplicar a fórmula do volume. É preciso estabelecer uma relação algébrica entre os volumes dos dois cubos, interpretar a informação sobre a vazão constante e, o mais importante, responder exatamente ao que foi pedido (o tempo para encher o restante), o que exige uma subtração final.
✅ Gabarito: B
- A alternativa está correta porque, se metade do cubo maior (volume 4a³) leva 8 minutos para encher, o volume restante (o outro 4a³ mais o a³ do cubo menor, totalizando 5a³) levará 10 minutos, mantendo a mesma vazão.
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão não pede o tempo total para encher o depósito, mas sim o tempo que falta para terminar de enchê-lo, a partir do momento em que metade da parte de baixo já está cheia.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é calcular o volume total do depósito, o volume que ainda falta encher e, usando a informação da vazão, calcular o tempo necessário para encher esse volume restante.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que o problema não nos dá as medidas exatas das arestas? Isso é uma dica de que devemos trabalhar com a proporção entre os volumes, usando uma variável como “a”.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos de dois conceitos-chave:
- 1. Volume do Cubo:
- O volume de um cubo é o cubo da medida de sua aresta (a).
- Fórmula: Volume = a³
- 2. Vazão Constante:
- Isso significa que a torneira despeja a mesma quantidade de volume a cada minuto.
- Essa propriedade nos permite usar a Regra de Três Simples, pois existe uma proporção direta entre o volume a ser preenchido e o tempo necessário.
- Relação: (Volume 1) / (Tempo 1) = (Volume 2) / (Tempo 2)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine que temos dois “copos” cúbicos, um grande e um pequeno em cima, conectados. O lado do copo grande é o dobro do lado do copo pequeno. Uma torneira, que enche sempre no mesmo ritmo, levou 8 minutos para encher metade do copo grande. A pergunta é: “Quanto tempo a mais a torneira precisa ficar aberta para encher a outra metade do copo grande E o copo pequeno de cima?”.
3.2 Estratégia Geral 📌
A estratégia mais elegante é trabalhar com a proporção entre os volumes, sem se preocupar com os valores numéricos exatos:
- Definir as arestas dos cubos em função de uma variável a.
- Calcular os volumes das duas partes do depósito em função de a.
- Usar a informação inicial (volume enchido em 8 minutos) para estabelecer uma relação entre volume e tempo.
- Calcular o volume que falta encher.
- Usar uma regra de três para encontrar o tempo necessário para encher o volume restante.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia.
- Passo A: Definir as arestas e os volumes
- Vamos chamar a aresta do cubo de cima (o menor) de a.
- O enunciado diz que a aresta do cubo de baixo (o maior) é o dobro. Então, sua aresta é 2a.
- Volume do cubo de cima: V_cima = a³
- Volume do cubo de baixo: V_baixo = (2a)³ = 2³ × a³ = 8a³
- Volume TOTAL do depósito: V_total = V_cima + V_baixo = a³ + 8a³ = 9a³
- Passo B: Analisar a informação inicial sobre a vazão
- A torneira encheu metade da parte de baixo em 8 minutos.
- Metade do volume da parte de baixo é: V_enchido = (8a³) / 2 = 4a³.
- Isso nos dá a nossa “taxa de câmbio”: 4a³ de volume ⇔ 8 minutos de tempo.
- Passo C: Calcular o volume que falta encher
- O volume total é 9a³.
- Já foi enchido 4a³.
- Volume Restante = V_total – V_enchido = 9a³ – 4a³ = 5a³
- Passo D: Calcular o tempo para encher o restante
- Agora, usamos a regra de três com a nossa taxa de câmbio:
- Se um volume de 4a³ leva 8 minutos…
- …um volume de 5a³ levará t minutos.
- 4a³ ——- 8 min
- 5a³ ——- t min
- Podemos simplificar a primeira linha: dividir 4a³ e 8 por 4, o que nos diz que a torneira enche a³ em 2 minutos.
- a³ ——- 2 min
- 5a³ ——- t min
- Agora fica fácil ver que t = 5 × 2.
- t = 10 minutos
4.2 Verificação Intermediária 📌
O volume restante (5a³) é um pouco maior que o volume já enchido (4a³). Logo, o tempo para encher o restante (10 minutos) deve ser um pouco maior que o tempo já gasto (8 minutos), o que faz sentido.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é responder o tempo total para encher o depósito. Pela nossa regra de três, o tempo total seria para encher 9a³. Se a³ leva 2 minutos, 9a³ levaria 9 × 2 = 18 minutos. A alternativa D (18) é uma isca para quem não leu a palavra “restante” no comando.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um tempo de 10 minutos para encher o que falta no depósito. Vamos agora confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 8
B) 10
C) 16
D) 18
E) 24
5.2 Justificativa Individual
- A) 8 (🔴) Incorreta. 8 minutos é o tempo gasto para encher a primeira metade do cubo de baixo. O volume restante é maior, então levará mais tempo.
- B) 10 (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao tempo necessário para encher o volume restante de 5a³, mantendo a mesma vazão.
- C) 16 (🔴) Incorreta. 16 minutos seria o tempo total para encher apenas o cubo de baixo (2 × 8 min).
- D) 18 (🔴) Incorreta. Como vimos, é o tempo total para encher todo o depósito desde o início. A questão pede o tempo para o restante.
- E) 24 (🔴) Incorreta. Valor distrator, sem uma lógica de erro clara.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao expressar os volumes dos cubos em termos de uma variável a. Estabelecemos a relação de que um volume de 4a³ é preenchido em 8 minutos. Em seguida, calculamos o volume restante (5a³) e, por meio de uma regra de três, determinamos o tempo necessário para preenchê-lo, que é de 10 minutos.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa B.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de vazão com volumes proporcionais, a dica de ouro é: não se assuste com a falta de números! Use uma variável (a, x, etc.) para representar uma medida e calcule tudo em função dela. Na regra de três, a variável se cancelará, e você chegará ao resultado numérico. E sempre, sempre leia a pergunta final com atenção para saber se ela pede o tempo total ou o restante.
