Célia é uma confeiteira renomada na pequena cidade onde mora. Herdou de sua avó uma receita de brigadeiro que faz o maior sucesso. Os ingredientes da receita enchem sempre uma panela, de forma cilíndrica, com 40 cm de altura e 30 cm de diâmetro. Para inovar e atrair mais clientes, em vez de vender os brigadeiros na forma de “bolinhas”, Célia tem feito brigadeiros em forma de cones. Para isso, utiliza forminhas cônicas de 5 cm de altura e raio da base de 1,5 cm.
A cada receita produzida, a quantidade de cones de brigadeiro que Célia consegue obter é
A) 600 unidades.
B) 800 unidades.
C) 2 400 unidades.
D) 3 200 unidades.
E) 9 600 unidades.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial
- Cálculo de Volume de Cilindro
- Cálculo de Volume de Cone
- Relação entre Diâmetro e Raio
Tema/Objetivo Geral: Resolução de problemas envolvendo a divisão de um volume total em volumes menores.
Nível da Questão
Médio – Os cálculos de volume em si são diretos, pois as fórmulas são fornecidas. No entanto, a questão exige atenção a um detalhe crucial: a panela tem sua medida dada em diâmetro, que precisa ser convertida para raio antes de ser usada na fórmula. Esse pequeno passo, que é uma fonte comum de erros, eleva a questão do nível fácil para o médio.
Gabarito
C) 2 400 unidades. – A alternativa está correta, pois o volume total de brigadeiro produzido (volume do cilindro) dividido pelo volume de cada brigadeiro cônico resulta em 2 400 unidades.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A cada receita produzida, a quantidade de cones de brigadeiro que Célia consegue obter é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcularmos quantos brigadeiros pequenos em formato de cone podem ser feitos com a quantidade total de massa de brigadeiro produzida, que enche uma panela cilíndrica.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o volume total de brigadeiro (o volume da panela) e o volume de um único brigadeiro (o volume da forminha cônica), e então dividir o volume total pelo volume unitário para encontrar o número de unidades.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a medida da panela foi dada em diâmetro e não em raio? A fórmula do volume usa o raio, então não se esqueça de fazer a conversão antes de começar a calcular!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos dominar as seguintes fórmulas de Geometria Espacial:
- Relação Diâmetro-Raio: O raio (R) é a distância do centro de um círculo até sua borda. O diâmetro (D) é a distância de uma borda a outra, passando pelo centro. A relação é simples:
- Raio = Diâmetro / 2
- Volume do Cilindro: É o espaço interno de um objeto em formato de lata. A fórmula é a área da base (um círculo) multiplicada pela altura.
- V_cilindro = π * R² * h
- Onde: π (pi) é uma constante, R é o raio da base e h é a altura.
- Volume do Cone: É o espaço interno de um objeto em formato de casquinha de sorvete. A fórmula é um terço do volume de um cilindro com a mesma base e altura.
- V_cone = (π * R² * h) / 3
- Onde: R é o raio da base e h é a altura.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” o problema: Célia faz um panelão de brigadeiro. Esse panelão tem o formato de um cilindro. Depois, ela pega toda essa massa e a divide em pequenas forminhas em formato de cone. A gente precisa descobrir quantas forminhas ela consegue encher. É basicamente um problema de “dividir o grande em pedaços pequenos”.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Calcular o volume total da massa de brigadeiro, que é o volume da panela cilíndrica. (Lembrando de converter o diâmetro para raio!).
- Calcular o volume de um único brigadeiro, que é o volume da forminha cônica.
- Dividir o volume total pelo volume de um brigadeiro para encontrar a quantidade de unidades.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Calcular o Volume Total (Panela Cilíndrica):
Primeiro, vamos coletar os dados da panela:
- Altura (h): 40 cm
- Diâmetro: 30 cm
- Raio (R): Diâmetro / 2 = 30 / 2 = 15 cm
Agora, aplicamos a fórmula do volume do cilindro:
V_cilindro = π * R² * h
V_cilindro = π * (15)² * 40
V_cilindro = π * 225 * 40
V_cilindro = 9000π cm³
Este é o volume total de brigadeiro disponível.
2. Calcular o Volume de um Brigadeiro (Forma Cônica):
Dados da forminha cônica:
- Altura (h): 5 cm
- Raio da base (R): 1,5 cm
Aplicamos a fórmula do volume do cone:
V_cone = (π * R² * h) / 3
V_cone = (π * (1,5)² * 5) / 3
V_cone = (π * 2,25 * 5) / 3
V_cone = (π * 11,25) / 3
V_cone = 3,75π cm³
Este é o volume de um único brigadeiro.
3. Calcular a Quantidade de Unidades:
Para encontrar o número de brigadeiros, dividimos o volume total pelo volume de cada um.
Quantidade = V_cilindro / V_cone
Quantidade = (9000π) / (3,75π)
Podemos cortar o π de cima com o de baixo:
Quantidade = 9000 / 3,75
Quantidade = 2400 unidades
4.2 Verificação Intermediária
O volume total é de 9000π e o volume de cada cone é 3,75π. A divisão 9000 / 3,75 resulta em um número inteiro, 2400, o que é um bom sinal de que o cálculo está correto.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum é usar o diâmetro (30 cm) no lugar do raio (15 cm) no cálculo do volume do cilindro. Isso levaria a um volume total de V = π * 30² * 40 = 36000π, que é quatro vezes maior que o valor correto. Dividindo 36000π por 3,75π, o resultado seria 9600, que corresponde à alternativa E. É um erro clássico e precisa de muita atenção.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos detalhados nos levaram a um total de 2400 brigadeiros. Agora, vamos verificar se este resultado corresponde a uma das alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 600 unidades.
B) 800 unidades.
C) 2 400 unidades.
D) 3 200 unidades.
E) 9 600 unidades.
5.2 Justificativa Individual
- A) 600 unidades. (🔴) Incorreta. Este valor pode surgir de um erro de cálculo, talvez dividindo o volume total por 15π (esquecendo de elevar o raio ao quadrado no cone).
- B) 800 unidades. (🔴) Incorreta. Não corresponde a um erro de cálculo óbvio e serve como distrator.
- C) 2 400 unidades. (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao volume do cilindro (9000π) dividido pelo volume do cone (3,75π).
- D) 3 200 unidades. (🔴) Incorreta. Não corresponde a um erro de cálculo óbvio e serve como distrator.
- E) 9 600 unidades. (🔴) Incorreta. Este é o resultado da “armadilha”: usar o diâmetro da panela (30 cm) em vez do raio (15 cm) no cálculo do volume.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Calculamos o volume total de brigadeiro (volume do cilindro) e o volume de cada unidade (volume do cone), prestando atenção à conversão de diâmetro para raio. A divisão do volume total pelo unitário nos deu o número exato de cones que poderiam ser produzidos.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 2 400 unidades.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de geometria espacial, sempre verifique as unidades e as variáveis. A diferença entre raio e diâmetro é uma das “pegadinhas” mais clássicas. Leia com atenção e converta sempre que necessário
