O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Analítica, Teorema de Pitágoras, Distância entre Pontos.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
O governo de um estado pretende construir duas rodovias em linha reta para interligar as cidades A e B à Rodovia 003. O objetivo é escolher o ponto de conexão na Rodovia 003 que minimize a distância total percorrida ao viajar entre as cidades A e B.
📌 Palavras-chave:
- “Distância percorrida” → O problema exige a menor soma dos trajetos.
- “Rodovias em linha reta” → Devemos calcular distâncias diretas entre os pontos.
- “Ponto de conexão” → Precisamos testar os cinco possíveis pontos da Rodovia 003.
📌 Objetivo:
Determinar qual dos pontos I, II, III, IV ou V na Rodovia 003 resulta na menor distância total percorrida entre as cidades A e B.
✔ Dica Geral:
Sempre que um problema envolver a menor distância em caminhos retos, o Teorema de Pitágoras é uma ferramenta essencial, pois permite calcular os deslocamentos diretos entre os pontos.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Teorema de Pitágoras:
Para encontrar a menor distância total entre os pontos, utilizamos a fórmula:
c² = a² + b², onde:
- c é a distância mais curta entre dois pontos (hipotenusa).
- a e b são os deslocamentos horizontal e vertical.
🔹 Estratégia de Resolução:
- Modelamos cada caminho como um triângulo retângulo, onde a hipotenusa representa a estrada entre uma cidade e o ponto de conexão.
- Calculamos a soma das distâncias A → conexão e conexão → B para cada opção.
- Escolhemos o menor resultado.
✔ Dica Geral:
Quando se deseja encontrar o caminho mais curto, a soma dos deslocamentos deve ser minimizada. Para isso, devemos testar todas as opções e comparar os resultados.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Conversão do problema para um modelo matemático:
- Cidade A está em (20, 40).
- Cidade B está em (50, 20).
- Rodovia 003 está ao longo do eixo x, com pontos de conexão possíveis em:
- I (20, 0)
- II (30, 0)
- III (35, 0)
- IV (40, 0)
- V (50, 0)
📌 Transformando a questão em cálculos:
Para cada ponto de conexão, formamos dois triângulos retângulos:
- A → ponto de conexão (vertical e horizontal).
- Ponto de conexão → B (vertical e horizontal).
- Somamos as hipotenusas para cada caminho.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras para cada opção de conexão.
Caminho I
- A → I:
- Horizontal: 0 (pois x = 20)
- Vertical: 40
- Distância: 40 km
- I → B:
- Horizontal: 30
- Vertical: 20
- Hipotenusa: √(30² + 20²) = √1300 ≈ 36 km
✔ Distância total: 40 + 36 = 76 km
Caminho II
- A → II:
- Horizontal: 10
- Vertical: 40
- Hipotenusa: √(10² + 40²) = √1700 ≈ 41 km
- II → B:
- Horizontal: 20
- Vertical: 20
- Hipotenusa: √(20² + 20²) = √800 ≈ 28 km
✔ Distância total: 41 + 28 = 69 km
Caminho III
- A → III:
- Horizontal: 15
- Vertical: 40
- Hipotenusa: √(15² + 40²) = √1825 ≈ 43 km
- III → B:
- Horizontal: 15
- Vertical: 20
- Hipotenusa: √(15² + 20²) = √625 ≈ 25 km
✔ Distância total: 43 + 25 = 68 km
Caminho IV
- A → IV:
- Horizontal: 20
- Vertical: 40
- Hipotenusa: √(20² + 40²) = √2000 ≈ 45 km
- IV → B:
- Horizontal: 10
- Vertical: 20
- Hipotenusa: √(10² + 20²) = √500 ≈ 22 km
✔ Distância total: 45 + 22 = 66 km
Caminho V
- A → V:
- Horizontal: 30
- Vertical: 40
- Hipotenusa: √(30² + 40²) = 50 km
- V → B:
- Apenas vertical: 20 km
✔ Distância total: 50 + 20 = 70 km
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta: D (Caminho IV)
- Caminho IV teve a menor distância percorrida: 66 km.
❌ Alternativas Incorretas:
- A) Caminho I → 76 km (muito longo).
- B) Caminho II → 69 km (maior que 66 km).
- C) Caminho III → 68 km (ainda maior que 66 km).
- E) Caminho V → 70 km (maior que 66 km).
✔ Dica Geral:
A melhor escolha ocorre quando a soma das duas hipotenusas é mínima. O ponto IV reduz essa soma ao máximo possível.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Conclusão:
Após calcular todas as distâncias, verificamos que a melhor escolha para o ponto de conexão é IV, pois resulta na menor soma dos percursos: 66 km.
🔍 Resumo Final:
- Aplicamos o Teorema de Pitágoras para calcular as distâncias.
- Comparamos as cinco opções e verificamos que o menor trajeto ocorre na opção IV.
- Confirmamos que a resposta correta é a Alternativa D.
✅ Resposta final: Alternativa D.
