Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?
A) 6
B) 8
C) 20
D) 24
E) 36
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Análise Combinatória – Combinação Simples, Princípio Fundamental da Contagem)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do número de maneiras de formar grupos a partir de universos distintos.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois exige do aluno a capacidade de identificar que a “ordem não importa”, o que leva ao uso de Combinação, e não Arranjo. Além disso, é necessário aplicar o Princípio Fundamental da Contagem para multiplicar os resultados das duas escolhas independentes (museus nacionais e internacionais).
Gabarito:
A alternativa correta é a D. A resposta está correta porque o número total de maneiras é o produto do número de maneiras de escolher 3 museus nacionais dentre 4 (C(4,3) = 4) pelo número de maneiras de escolher 2 museus internacionais dentre 4 (C(4,2) = 6), resultando em 4 * 6 = 24.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular o número total de grupos diferentes de 5 museus que podem ser formados, respeitando a condição de que 3 devem ser nacionais e 2 devem ser internacionais, a partir das listas fornecidas.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o número de combinações possíveis para a escolha dos museus nacionais, calcular o número de combinações possíveis para os internacionais e, por fim, multiplicar esses dois resultados.
1.4 Pergunta de Atenção
Para resolver este problema, precisamos primeiro decidir se a ordem em que os museus são escolhidos importa. Visitar o “MASP, MAM e Ipiranga” é diferente de visitar o “Ipiranga, MAM e MASP”?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos de duas ferramentas da Análise Combinatória:
- Combinação Simples (C(n, p)):
- Quando usar? Usamos a Combinação quando queremos formar grupos e a ordem dos elementos dentro do grupo NÃO importa. No nosso caso, escolher os museus A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A. Estamos apenas formando um “pacote” de viagem.
- Fórmula: C(n, p) = n! / (p! * (n-p)!)
- Termos:
- n: Número total de elementos disponíveis para escolha (o “universo”).
- p: Número de elementos que vamos escolher para formar o grupo.
- !: Símbolo de fatorial (ex: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24).
- Exemplo do cotidiano: De um grupo de 5 amigos, de quantas formas podemos escolher 2 para ir ao cinema? A ordem não importa, então é uma combinação: C(5,2) = 5! / (2! * 3!) = 10 maneiras.
- Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo):
- Quando usar? Usamos este princípio quando uma tarefa é composta por várias etapas independentes. O número total de maneiras de realizar a tarefa completa é o produto do número de maneiras de realizar cada etapa.
- No nosso problema: A tarefa é “escolher 5 museus”. As etapas são “escolher 3 museus nacionais” E “escolher 2 museus internacionais”. O “E” nos dá a dica de que devemos multiplicar.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você está montando um pacote de viagem. Você tem duas caixas: uma com 4 opções de passeios no Brasil e outra com 4 opções de passeios no exterior. As regras são: você deve pegar 3 passeios da caixa “Brasil” E 2 passeios da caixa “Exterior”. Nossa missão é descobrir quantos pacotes de viagem diferentes (combinações de 5 passeios) é possível montar seguindo essas regras.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque tem duas etapas, seguidas por uma multiplicação:
- Etapa 1: Calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 museus nacionais de um total de 4 disponíveis (usando a fórmula da Combinação).
- Etapa 2: Calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 museus internacionais de um total de 4 disponíveis (usando a fórmula da Combinação).
- Etapa Final: Multiplicar os resultados das duas etapas para encontrar o número total de maneiras.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia.
- Etapa 1: Escolha dos Museus Nacionais
- Temos n = 4 museus nacionais disponíveis.
- Precisamos escolher p = 3 deles.
- A ordem não importa, então usamos Combinação:
C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!)
C(4, 3) = 4! / (3! * 1!)
C(4, 3) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * 1)
C(4, 3) = 24 / 6
C(4, 3) = 4 maneiras
(Isso faz sentido, pois escolher 3 de 4 é o mesmo que escolher 1 para ficar de fora).
- Etapa 2: Escolha dos Museus Internacionais
- Temos n = 4 museus internacionais disponíveis.
- Precisamos escolher p = 2 deles.
- A ordem não importa, então usamos Combinação:
C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!)
C(4, 2) = 4! / (2! * 2!)
C(4, 2) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1))
C(4, 2) = 24 / (2 * 2)
C(4, 2) = 24 / 4
C(4, 2) = 6 maneiras
- Etapa Final: Aplicando o Princípio Multiplicativo
- Como o professor precisa escolher os museus nacionais E os internacionais, multiplicamos os resultados.
- Total de Maneiras = (Maneiras Nacionais) * (Maneiras Internacionais)
- Total de Maneiras = 4 * 6
- Total de Maneiras = 24
4.2 Verificação Intermediária
Os cálculos de combinação estão corretos e a aplicação do princípio multiplicativo é a abordagem adequada para o problema. O resultado de 24 parece razoável.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria usar Arranjo em vez de Combinação. Se você considerasse que a ordem importa, o cálculo seria A(4,3) * A(4,2) = 24 * 12 = 288, um número muito maior. Outro erro seria somar os resultados (4 + 6 = 10) em vez de multiplicar. Lembre-se que o “E” na lógica do problema implica multiplicação.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um total de 24 maneiras diferentes de escolher os museus. Agora vamos procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 6
B) 8
C) 20
D) 24
E) 36
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 6: Incorreta. Este é o número de maneiras de escolher apenas os museus internacionais.
- (🔴) B) 8: Incorreta. Seria o resultado de multiplicar o número de museus disponíveis (4 * 2), o que não faz sentido.
- (🔴) C) 20: Incorreta. Não corresponde a um cálculo lógico derivado do problema.
- (🟢) D) 24: Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, que multiplica as combinações de escolhas nacionais (4) e internacionais (6).
- (🔴) E) 36: Incorreta. Não corresponde a um cálculo claro com os dados.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido em duas etapas. Primeiro, calculamos o número de combinações para escolher os museus em cada categoria (nacional e internacional), pois a ordem da escolha não importava. Em seguida, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicando os resultados para obter o número total de maneiras de formar o grupo completo de viagem.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 24.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em análise combinatória, a primeira pergunta a se fazer é: “A ordem importa?”. Se a resposta for NÃO, use Combinação. Se a tarefa tem etapas independentes ligadas por um “E”, multiplique os resultados.
