Questão 175, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (R_c) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R₁, R₂, R₃ e R₄), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

Questão 175 - ENEM 2019 - Questão 175,Geometria Espacial

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório.

Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

A) 1,44.

B) 1,16

C) 1,10.

D) 1,00.

E) 0,95.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Geometria Espacial: Cálculo de Volume de Cilindros.
Hidrostática: Princípio dos Vasos Comunicantes e Conservação de Volume.

Tema/Objetivo Geral:

Cálculo da altura de equilíbrio em um sistema de vasos comunicantes, considerando o volume deslocado de um reservatório principal para reservatórios auxiliares e tubulações de conexão.

Nível da Questão: Médio.

Justificativa: A questão exige atenção a um detalhe crucial que muitos ignoram: a água não enche apenas os reservatórios auxiliares, ela também enche os canos de ligação! Quem esquece de calcular o volume dos canos erra o resultado final. Além disso, envolve manipulação algébrica com Pi.

Gabarito: D.

Resumo: O volume inicial de água no reservatório central (13,2π ) se espalha para: o próprio reservatório central (até a altura h), os 4 reservatórios auxiliares (até a altura h) e os 4 canos de ligação (que ficam cheios). Igualando o volume inicial à soma dos volumes finais, encontramos h = 1,00 m.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão pede para calcularmos a altura final da água (h) depois que ela se espalhar do reservatório central para os outros reservatorios e canos.

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma jarra cheia de suco (Reservatório Central). Você conecta essa jarra a 4 copos vazios (Reservatórios Auxiliares) usando canudinhos (Canos).
Quando você abre a torneira, o suco flui da jarra para os canudinhos e depois para os copos, até que o nível do suco fique igual em tudo (Vasos Comunicantes).
A pergunta é: qual será a altura desse nível de suco no final?
Lembre-se: o suco que “sumiu” da jarra foi usado para encher os copos E os canudinhos!

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

Calcular o Volume Total de água que havia no início (apenas no Reservatório Central cheio).
Calcular o Volume dos 4 Canos (eles ficarão cheios).
Montar a equação de equilíbrio: Volume Inicial = Volume Final (Central + 4 Auxiliares + 4 Canos).
Resolver a equação para achar a altura h.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Ferramenta 1: Volume do Cilindro
Todos os objetos (reservatórios e canos) são cilindros.

Fórmula: Volume = π x (Raio)² x Altura.

Ferramenta 2: O Princípio da Igualdade
A água não desaparece. O que tinha no início tem que estar lá no final, apenas em lugares diferentes.

Vinicio = Vfinal_Central + Vfinal_Auxiliares + VCanos.

Dica de Ouro:
Não substitua o π por 3,14 agora! Deixe o símbolo π até o final, pois ele vai aparecer em todos os termos e poderemos cortá-lo, facilitando a conta.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos calcular os volumes:

1. Volume Inicial (Reservatório Central Cheio):

Raio (R) = 2 m.
Altura (H) = 3,30 m.
V_inicio = π x 2² x 3,30
V_inicio = π x 4 x 3,30 = 13,2 π.

2. Volume dos Canos (Eles ficam totalmente cheios):

São 4 canos.
Comprimento (altura do cilindro deitado) = 20 m.
Diâmetro = 0,10 m -> Raio (raio do cano) = 0,05 m.
V_um_cano = π x (0,05)² x 20
V_um_cano = π x 0,0025 x 20 = 0,05 π.
V_4_canos = 4 x 0,05 Pi = 0,2 π.

3. Volume Final nos Reservatórios (em função da altura h):

Reservatório Central: Raio 2 m.
- V_final_C = π x 2² x h = 4 π h.
Reservatórios Auxiliares (são 4): Raio 1,5 m.
- V_final_Aux = 4 x (π x 1,5² x h)
- V_final_Aux = 4 x (π x 2,25 x h)
- V_final_Aux = 9 π h.

4. A Equação do Equilíbrio:
Volume Inicial = (Vol. Final Central) + (Vol. Final Auxiliares) + (Vol. Canos)
13,2 π= (4 π h) + (9 π h) + (0,2 π)

Vamos simplificar cortando o π de todos os termos:
13,2 = 4h + 9h + 0,2
13,2 = 13h + 0,2

Agora, isolamos o h:
13,2 – 0,2 = 13h
13,0 = 13h
h = 13 / 13
h = 1,00 metro.

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é esquecer o volume dos canos.
Se o aluno esquecer os canos, a conta fica: 13,2 = 13h.
Isso daria h = 1,015… (aproximadamente).
Nesse caso, o aluno poderia ficar em dúvida ou arredondar errado.
Mas o erro conceitual grave é ignorar que os canos têm 20 metros de comprimento! É muita água ali dentro (cerca de 600 litros). O volume dos canos (0,2 π) é exatamente o que faz a conta dar redonda em 1,00.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: O volume inicial era 13,2 (em termos de Pi). Os canos roubaram 0,2. Sobrou 13,0 para dividir entre os reservatórios. A área total da base combinada dos reservatórios é 13 (4 + 9). Logo, 13 volume / 13 área = 1 altura.
Expectativa: Alternativa D.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 1,44.
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo ou Área.
- Por que está incorreta: Resultado muito alto, incompatível com a conservação de massa.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1,16.
- O Diagnóstico do Erro: Esquecimento de Reservatórios.
- Por que está incorreta: Talvez o aluno tenha calculado como se a água fosse só para os auxiliares, esquecendo que o central também mantém água.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 1,10.
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Aritmética.
- Por que está incorreta: Valor próximo, mas matematicamente errado.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 1,00.
- Análise de Correspondência: Perfeito. Ao descontar o volume dos canos (0,2 π) do volume total (13,2 Pi), restam exatos 13 Pi para serem distribuídos numa área total de 13 π (4 π do central + 9 π dos auxiliares), resultando em h = 1.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 0,95.
- O Diagnóstico do Erro: Subestimação.
- Por que está incorreta: Valor menor que o real. Talvez o aluno tenha superestimado o volume dos canos.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
Em sistemas hidráulicos, cada gota conta: ao considerarmos o volume “escondido” dentro dos longos canos de conexão, equilibramos a equação de conservação de massa e descobrimos que o nível da água se estabiliza exata e elegantemente em 1,00 metro (Alternativa D).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
🌊 Tanque Cheio: 13,2.
🚰 Canos: Comem 0,2.
⚖️ Sobra: 13,0.
📏 Altura: 13/13 = 1.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conexão com Engenharia Civil (Caixas d’água):
Esse princípio é usado para conectar caixas d’água em prédios. Se você tem várias caixas no telhado conectadas por baixo, elas funcionam como uma só gigante. Não importa se uma é gorda e a outra é magra; a água sempre fica no mesmo nível. O engenheiro precisa calcular o volume dos canos para saber se a água vai chegar na pressão certa no chuveiro do último andar!

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