Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório.
Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.
A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é
A) 1,44.
B) 1,16
C) 1,10.
D) 1,00.
E) 0,95.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias:
- Geometria Espacial, Cálculo de Volumes.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: D.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Análise do Comando:
A questão descreve um reservatório central (Rc), em forma de cilindro com raio 2 m e altura 3,30 m, que está inicialmente cheio, e quatro reservatórios auxiliares, cada um com raio interno e altura interna de 1,5 m. Eles estão conectados por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro (portanto, raio de 0,05 m) e 20 m de comprimento. Após a abertura dos registros instalados nas conexões, a água se redistribui entre os reservatórios e os canos até que a altura da água se iguale em todos eles.
🔹 Palavras-chave:
- Reservatório central
- Reservatórios auxiliares
- Canos cilíndricos
- Vasos comunicantes
- Equalização da altura
✔ Objetivo:
Determinar o valor de x, a altura final (em metros) da coluna de água em cada reservatório após cessar o fluxo de água.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Essenciais:
🔹 Volume de um Cilindro:
A fórmula para calcular o volume de um cilindro é:
Volume = π × (raio)² × altura.
🔹 Conservação de Volume:
Todo o volume de água contido inicialmente no reservatório central será redistribuído entre:
- O reservatório central, agora com nova altura x;
- Os 4 reservatórios auxiliares, cada um com altura x;
- Os 4 canos de ligação, que estarão completamente cheios.
✔ Detalhe dos Canos:
Cada cano tem diâmetro 0,10 m, ou seja, raio 0,05 m, e comprimento de 20 m.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Interpretação dos Dados e Definição das Variáveis:
- Reservatório Central (Rc):
- Volume inicial:
V_Rc_inicial = π × (2)² × 3,30 = π × 4 × 3,30 = 13,2π.
- Volume inicial:
- Reservatórios Auxiliares (cada um):
- Volume final (em função de x):
V_aux = π × (1,5)² × x = π × 2,25 × x = 2,25π x.
- Volume final (em função de x):
- Cano de Ligação (cada um):
- Volume:
V_cano = π × (0,05)² × 20 = π × 0,0025 × 20 = 0,05π.
- Volume:
🔹 Distribuição Final do Volume:
Após o fluxo cessar, a água se distribui em:
- Reservatório central com volume:
V_Rc_final = π × (2)² × x = 4π x. - 4 Reservatórios auxiliares com volume total:
4 × V_aux = 4 × 2,25π x = 9π x. - 4 Canos com volume total:
4 × V_cano = 4 × 0,05π = 0,2π.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Aplicação da Conservação de Volume:
Igualamos o volume total inicial ao volume total final:
13,2π = 4π x + 9π x + 0,2π.
🔹 Simplificação:
- Somando os volumes dos reservatórios (central e auxiliares):
4π x + 9π x = 13π x. - Assim, a equação fica:
13,2π = 13π x + 0,2π.
✔ Resolvendo para x:
Subtraindo 0,2π de ambos os lados:
13,2π – 0,2π = 13π x
13π = 13π x
Dividindo ambos os lados por 13π, obtemos:
x = 1.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Reescrita das Alternativas:
- A) 1,44
- B) 1,16
- C) 1,10
- D) 1,00
- E) 0,95
✅ Alternativa Correta:
- ✅ D: A altura final das colunas de água é de 1,00 m, conforme o cálculo realizado.
❌ Alternativas Incorretas:
- ❌ A, B, C e E: Estes valores não satisfazem a condição de conservação de volume determinada pela redistribuição da água.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Inicialmente, o reservatório central possui um volume de 13,2π. Ao abrir os registros, essa água se redistribui entre o reservatório central (com novo volume de 4π x), os 4 reservatórios auxiliares (totalizando 9π x) e os 4 canos (totalizando 0,2π). Igualando a soma desses volumes ao volume inicial, chegamos à equação 13,2π = 13π x + 0,2π, que se simplifica para 13π = 13π x. Assim, concluímos que x = 1 m.
🔍 Resumo Final:
🔍 As colunas de água nos reservatórios, após a equalização, terão uma altura de 1,00 m, confirmando a alternativa D.
✔ Justificativa Final:
A resolução aplicou corretamente o conceito de volume de cilindros e a conservação do volume de água, demonstrando que a redistribuição da água leva a uma altura uniforme de 1 m em todos os reservatórios e canos, o que valida a resposta correta.
