Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento,
caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas
diminui R$ 200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das
parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o
mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.
Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?
A) 20
B) 24
C) 29
D) 40
E) 58
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Álgebra (Sistemas de Equações de 1º Grau), Modelagem Matemática.
Tema/Objetivo Geral
Resolução de problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais e montagem de sistemas lineares.
Nível da Questão: Médio.
- A questão não exige cálculos complexos, mas a “tradução” do português para a linguagem matemática (equacionamento) é o ponto onde a maioria dos candidatos trava. Exige organização para montar três cenários distintos igualados a uma constante.
Gabarito: Alternativa B.
- O número original de parcelas é 24.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Precisamos descobrir o número original de prestações (NN) de um financiamento. O problema nos dá uma “balança”: se aumentamos o prazo, o valor da parcela cai; se diminuímos o prazo, o valor da parcela sobe. A única coisa que nunca muda é o preço total do carro.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma conta de restaurante para dividir. O valor da conta é fixo (Valor do Carro).
- Se chegarem mais 5 amigos (mais parcelas), cada um paga 200 reais a menos.
- Se 4 amigos forem embora (menos parcelas), cada um paga 232 reais a mais.
A pergunta é: Quantos “amigos” (parcelas) havia na mesa inicialmente?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Criar o Dicionário Matemático: Dar nomes aos bois (
NN,PP,VV). - Mapear os 3 Cenários: Escrever a fórmula do valor total para a situação Normal, a Aumentada e a Diminuída.
- Igualar as Realidades: Como o valor do carro é constante, igualaremos as equações para montar um sistema.
- Caçar o N: Resolver o sistema focado em descobrir o número de parcelas.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Conceito Principal:
A base aqui é a equação fundamental do financiamento simples: Total = Quantidade de Parcelas * Valor da Parcela. Para organizar as evidências, montamos este dossiê técnico:
DOSSIÊ TÉCNICO: O FINANCIAMENTO
Arquivo 01: Variáveis do Caso
- V: Valor total do automóvel (Constante em todos os casos).
- N: Número de parcelas (O que queremos descobrir).
- P: Valor de cada parcela (Variável auxiliar).
Arquivo 02: O Cenário Original (A Proposta)
- Prazo: N parcelas.
- Custo Mensal: P reais.
- Fórmula da Evidência: V = N * P
Arquivo 03: O Cenário Estendido (Mais Tempo)
- Prazo: N + 5 parcelas.
- Custo Mensal: P – 200 reais.
- Fórmula da Evidência: V = (N + 5) * (P – 200)
Arquivo 04: O Cenário Reduzido (Menos Tempo)
- Prazo: N – 4 parcelas.
- Custo Mensal: P + 232 reais.
- Fórmula da Evidência: V = (N – 4) * (P + 232)
Conclusão do Dossiê:
Como o objeto (o carro) é o mesmo, todas as Fórmulas de Evidência são iguais entre si. Podemos ignorar o “V” e igualar as expressões algébricas diretamente.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos construir o sistema comparando o cenário Original com os outros dois, usando os dados do Dossiê.
1. Comparando Original com Prazo Estendido:
N * P = (N + 5) * (P – 200)
Aplicando a distributiva (regra do chuveirinho):
NP = NP – 200N + 5P – 1000
Podemos cortar o “NP” dos dois lados (subtração):
0 = -200N + 5P – 1000
Passando números para um lado e letras para o outro:
200N – 5P = -1000
Dica de Mestre: Simplifique a equação dividindo tudo por 5 para facilitar a vida.
Equação I: 40N – P = -200
2. Comparando Original com Prazo Reduzido:
N * P = (N – 4) * (P + 232)
Aplicando a distributiva:
NP = NP + 232N – 4P – 928
Cortando o “NP”:
0 = 232N – 4P – 928
Arrumando a casa:
-232N + 4P = -928
Dica de Mestre: Simplifique a equação dividindo tudo por 4.
Equação II: -58N + P = -232
3. O Confronto Final (Resolvendo o Sistema):
Agora temos um sistema lindo e preparado para o Método da Adição:
(I) 40N – P = -200
(II) -58N + P = -232
Somando as duas equações verticalmente:
(40N – 58N) + (-P + P) = (-200 – 232)
-18N + 0 = -432
-18N = -432
Multiplicando por (-1) para ficar tudo positivo:
18N = 432
N = 432 / 18
N = 24
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A simplificação esquecida: Muitos alunos chegam na equação “200N – 5P = -1000” e trabalham com números gigantes. Sempre que todos os termos de uma equação forem divisíveis pelo mesmo número (neste caso, 5), divida! Isso evita erros de cálculo lá na frente. Outra armadilha é achar o valor de P e marcar como resposta se houver essa opção (felizmente, aqui não há, mas fique atento ao comando da questão).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
Síntese do raciocínio: Igualamos as equações de valor total retiradas do dossiê, simplificamos as expressões algébricas e resolvemos o sistema linear resultante pela soma.
Expectativa: O valor de N deve ser um número inteiro positivo (não existe meia parcela). Resultado: 24.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) 20.
O Diagnóstico do Erro: Pode ser resultado de um erro na soma final do sistema (errar o sinal de -200 com -232) ou erro na divisão final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) 24.
Análise de Correspondência: Perfeito. É o resultado exato da resolução algébrica do sistema de equações modelado.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(C) 29.
O Diagnóstico do Erro: Este é um distrator visual. O número 29 é exatamente 24+524+5. O aluno pode ter calculado o “Prazo Estendido” em vez do prazo original.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) 40.
O Diagnóstico do Erro: O número 40 aparece como coeficiente na Equação I simplificada (40N). O candidato pode confundir o coeficiente com o resultado.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) 58.
O Diagnóstico do Erro: O número 58 aparece como coeficiente na Equação II simplificada (-58N). Mesmo caso da alternativa anterior: confusão entre partes da conta e o resultado final.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Em problemas de compras e vendas, se o valor total é fixo, o produto entre “quantidade” e “preço unitário” é constante, permitindo igualar diferentes cenários para descobrir as incógnitas.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se o total da conta é o mesmo, quando o número de pagadores sobe, o preço por cabeça desce na mesma balança.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este comportamento é exatamente o que vemos na Física (Termodinâmica) com a Lei de Boyle para gases ideais: P⋅V=kP⋅V=k (Pressão vezes Volume é constante). Se você diminui o volume (aperta o êmbolo), a pressão aumenta, assim como diminuir as parcelas aumenta o preço. A matemática é a linguagem universal!
