Ao pesquisar um resistor feito de um novo tipo de material, um cientista observou o comportamento mostrado no gráfico tensão versus corrente.
Após a análise do gráfico, ele concluiu que a tensão em função da corrente é dada pela equação V = 10 i + i² . O gráfico da resistência elétrica (R) do resistor em função da corrente (i) é
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias: Física (Eletrodinâmica, Definição Geral de Resistência vs. Lei de Ohm) e Matemática (Análise de Funções e Gráficos).
Tema/Objetivo Geral: Comportamento de Resistores Não-Ôhmicos e manipulação algébrica de funções físicas.
Nível da Questão: Difícil. (A maioria dos alunos erra por “vício de raciocínio”. Estamos condicionados a pensar que R é sempre constante. Além disso, sair de uma equação quadrática de Tensão para chegar numa equação linear de Resistência exige cruzar conhecimentos de física com análise de funções matemáticas).
Gabarito: Alternativa D.
- O segredo é confiar na matemática da definição de resistência (R = V dividido por i) e ignorar a intuição de que resistores são sempre lineares.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A questão pede a “identidade visual” (o gráfico) da Resistência desse material específico.
Decodificação: O enunciado te deu a função matemática que descreve a Tensão (V). Com base nela, você deve deduzir a função matemática da Resistência (R).
Simplificação Radical:
Imagine um táxi muito estranho.
Normalmente, a tarifa é fixa por km (Resistor Ôhmico).
Nesse táxi, a tarifa aumenta quanto mais longe você vai. O motorista te deu a fórmula do preço final da corrida. A questão quer que você descubra qual é o gráfico do “preço por km” (Resistência) à medida que a viagem aumenta.
O desafio brutal é: Não cair na tentação de marcar uma reta constante. Você terá que construir uma equação nova do zero.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Entender a diferença profunda entre “Lei de Ohm” e “Definição de Resistência”.
- Realizar a manipulação algébrica para transformar a equação V(i) na equação R(i).
- Analisar a função resultante (coeficiente linear e angular) para encontrar o gráfico.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Aqui precisamos aprofundar, pois é onde o conceito falha. Vamos abrir a caixa de ferramentas da Física Teórica.
1. A Crise de Identidade da Resistência:
A famosa fórmula “V = R x i” é ensinada na escola como se R fosse sempre um número imutável (ex: 10 Ohms). Isso é verdade apenas para Resistores Ôhmicos.
Mas a definição real, universal, que vale para qualquer componente do universo (de uma lâmpada a um semicondutor), é:
Resistência é a dificuldade momentânea que a corrente enfrenta.
Matematicamente: R = V / i
Essa divisão (razão) pode dar um número fixo (se for ôhmico) ou pode dar uma função variável (se for não-ôhmico).
2. A Ferramenta Matemática (Análise de Grau):
Olhe para a equação dada: V = 10i + i².
- Isso é uma função do 2º Grau (Quadrática). O gráfico é uma parábola (curva).
- Se a Tensão (V) cresce “ao quadrado” em relação à corrente, significa que a “pressão” necessária para empurrar os elétrons está aumentando desproporcionalmente. Isso é a prova física de que a resistência está aumentando.
Analogia de Ouro:
Pense num corredor polonês.
- Resistor Ôhmico: O corredor tem sempre a mesma largura. A dificuldade é constante.
- Resistor da Questão: Conforme mais pessoas (corrente) tentam passar, o corredor vai ficando mais estreito. A dificuldade (resistência) aumenta conforme o fluxo aumenta.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora vamos para a manipulação algébrica. Vamos “operar” a equação dada pelo cientista.
Dados:
- Equação do Cientista: V = 10i + i²
- Definição Universal de Resistência: R = V / i
A Substituição:
O nosso objetivo é encontrar R. Vamos pegar o “V” da primeira equação e colocar dentro da segunda.
R = (10i + i²) / i
A Simplificação (O Pulo do Gato Matemático):
Temos uma soma no numerador dividida por um denominador comum. Podemos separar em duas frações ou colocar o “i” em evidência.
Vamos colocar o “i” em evidência na parte de cima:
Numerador: i x (10 + i)
Agora a equação fica:
R = [ i x (10 + i) ] / i
Podemos cortar o “i” de cima com o “i” de baixo? Sim, pois a corrente não é zero (estamos analisando o gráfico em movimento).
Cortando os “i”, sobra:
R = 10 + i
A Análise da Função Sobrevivente:
Chegamos à função R(i) = 10 + i. Vamos ler isso como um matemático lê:
- É uma função do 1º Grau (do tipo y = b + ax).
- O Gráfico é uma Reta. (Não é curva, pois não tem expoente ao quadrado no R).
- Coeficiente Linear (b = 10): Quando a corrente é zero, a reta nasce no 10. Ela não sai da origem!
- Coeficiente Angular (a = 1): O sinal é positivo (+i). A reta é Crescente.
Conclusão Física:
Nesse material bizarro, a resistência começa valendo 10 Ohms e, para cada 1 Ampere a mais que passa, a resistência sobe 1 Ohm.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Muita atenção! O gráfico original do enunciado (aquela curva parabólica) é de Tensão x Corrente.
O gráfico que a resposta pede é de Resistência x Corrente.
É muito comum o aluno olhar a curva do enunciado e pensar “ah, se a tensão curva, a resistência curva também”. Não! A matemática provou: a tensão curva (grau 2) gera uma resistência reta inclinada (grau 1). A ordem do gráfico cai um grau ao dividir por “i”.
A Bússola:
- Síntese do raciocínio: Usamos R = V/i. Ao dividir o polinômio da tensão pela corrente, o grau da equação baixou de 2 para 1.
- Expectativa: Procurar um gráfico de Reta Inclinada (1º grau) que obrigatoriamente comece na altura 10 do eixo Y.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) Reta horizontal no 10.
Diagnóstico do Erro: Vício em Lei de Ohm. O aluno viu o “10” na equação e assumiu que era um resistor constante de 10 Ohms, ignorando o termo “+ i²”.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - B) Reta horizontal no 17.
Narrativa do Erro: O aluno pegou o último ponto do gráfico (i=7, V≈120), calculou R = 120/7 ≈ 17, e achou que esse valor era fixo para todo o trajeto. Ele calculou a resistência pontual final, mas errou o comportamento.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - C) Reta inclinada saindo do zero.
Diagnóstico do Erro: Erro Algébrico. O aluno percebeu que a resistência aumenta linearmente, mas esqueceu do termo independente (o 10). Esse gráfico seria para a função R = i.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta. - D) Reta inclinada saindo do 10.
Análise de Correspondência:
Perfeito.- É uma reta (função de 1º grau).
- Começa no 10 (interseção com o eixo Y).
- É crescente.
Retrata fielmente a função R = 10 + i.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- E) Curva parabólica.
Diagnóstico do Erro: Confusão Visual. O aluno olhou para o gráfico do enunciado (uma curva) e achou que o gráfico da resposta deveria ter o mesmo formato. Ele esqueceu que Tensão e Resistência são grandezas diferentes com comportamentos matemáticos diferentes.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Na física avançada, resistência não é uma constante, é uma consequência: se a tensão é quadrática, a resistência é linear; uma é a “derivada” do comportamento da outra.
Resumo-flash:
“Tensão Quadrática dividida por Corrente = Resistência Linear (Reta).”
Para ir Além:
O componente eletrônico que mais se comporta de forma não-linear assim é o Diodo ou o Termistor. Num termistor NTC, por exemplo, a resistência cai drasticamente quando a corrente esquenta o componente. Nesse caso da questão, seria um componente PTC (Coeficiente de Temperatura Positivo), onde o calor atrapalha a passagem da corrente, fazendo a resistência subir junto com a corrente.
