Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película.
De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é
A) [35 ; 63].
B) [40 ; 63].
C) [50 ; 70].
D) [50 ; 90].
E) [70 ; 90].
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Cálculo de Porcentagem (Porcentagens Sucessivas ou Compostas)
- Análise de Intervalos Numéricos
- Interpretação de Enunciado
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de um intervalo de valores a partir da aplicação de porcentagens sucessivas.
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não se trata de um cálculo único, mas da determinação de um intervalo (um valor mínimo e um máximo). Isso exige que o aluno entenda como combinar os valores extremos de dois intervalos diferentes para encontrar os extremos do intervalo resultante. A armadilha de somar ou subtrair as porcentagens também eleva a dificuldade.
✅ Gabarito: A
- A alternativa está correta porque o intervalo de transparência final é obtido multiplicando-se as porcentagens mínimas para encontrar o limite inferior (35%) e as porcentagens máximas para encontrar o limite superior (63%).
📖 Resolução Passo a Passo
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos o intervalo de transparência final da luz, ou seja, o valor mínimo e o valor máximo de porcentagem de luz que consegue atravessar tanto o vidro quanto a película.
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nossa missão é calcular a pior e a melhor combinação de transparência possíveis e expressar o resultado como um intervalo [Mínimo ; Máximo].
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Quando você coloca um óculos de sol dentro de um carro com vidro escuro, fica ainda mais escuro, certo? Isso acontece porque a luz passa por dois filtros em sequência. Como calculamos o efeito combinado desses dois filtros? Essa é a chave do problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver este problema, precisamos dominar dois conceitos:
- 1. Porcentagens Sucessivas (ou Compostas):
- Quando um percentual é aplicado sobre um valor que já é resultado de outro percentual, nós multiplicamos as taxas (na forma decimal) para encontrar o resultado final.
- Exemplo do cotidiano: Se uma loja oferece 20% de desconto sobre um produto que já estava com 30% de desconto, o desconto total não é 50%. A luz passando pelo vidro e pela película funciona da mesma forma: um “desconta” a luz, e o outro “desconta” a luz que sobrou.
- Fórmula: P_final = P_vidro × P_película (usando as porcentagens em forma decimal).
- 2. Análise de Intervalos:
- Para encontrar o valor mínimo de um produto de dois intervalos, nós multiplicamos os valores mínimos de cada intervalo.
- Para encontrar o valor máximo de um produto, nós multiplicamos os valores máximos de cada intervalo.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
Imagine a luz como um grupo de 100 soldados tentando passar por duas barreiras.
- A primeira barreira (o vidro) pode ser mais “fraca” (deixando 90 soldados passarem) ou mais “forte” (deixando só 70 passarem).
- A segunda barreira (a película) também pode ser mais “fraca” (deixando 70% dos soldados que chegaram até ela passarem) ou mais “forte” (deixando só 50% passarem).
Nossa tarefa é descobrir qual é o menor e o maior número de soldados que conseguem passar pelas duas barreiras.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nosso plano de ataque será:
- Calcular o Cenário Mínimo: Multiplicar a menor transparência do vidro pela menor transparência da película.
- Calcular o Cenário Máximo: Multiplicar a maior transparência do vidro pela maior transparência da película.
- Juntar os dois resultados para formar o intervalo final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar a estratégia, um cenário de cada vez.
- Passo A: Calculando a transparência MÍNIMA possível
- Para a luz ter a maior dificuldade de passar, pegamos o vidro menos transparente e a película menos transparente.
- Mínima transparência do vidro: 70% (ou 0,70)
- Mínima transparência da película: 50% (ou 0,50)
- P_mínima = 0,70 × 0,50 = 0,35
- Convertendo para porcentagem: 0,35 × 100 = 35%.
- Passo B: Calculando a transparência MÁXIMA possível
- Para a luz ter a maior facilidade de passar, pegamos o vidro mais transparente e a película mais transparente.
- Máxima transparência do vidro: 90% (ou 0,90)
- Máxima transparência da película: 70% (ou 0,70)
- P_máxima = 0,90 × 0,70 = 0,63
- Convertendo para porcentagem: 0,63 × 100 = 63%.
- Passo C: Montando o intervalo final
- O valor de P pode variar entre o mínimo de 35% e o máximo de 63%.
- O intervalo é [35 ; 63].
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado faz sentido. A transparência final nunca pode ser maior que a da película menos transparente (35% é menor que 50%), e nunca pode ser maior que a da película mais transparente (63% é menor que 70%).
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é somar ou subtrair as porcentagens, ou simplesmente pegar os valores extremos dos dados. Por exemplo, você poderia pensar que o intervalo é do menor valor mencionado (50%) ao maior (90%), o que daria a alternativa D. Isso ignora o fato de que a luz passa por dois filtros em sequência, e seus efeitos se multiplicam.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao intervalo [35 ; 63]. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) [35 ; 63].
B) [40 ; 63].
C) [50 ; 70].
D) [50 ; 90].
E) [70 ; 90].
5.2 Justificativa Individual
- A) [35 ; 63] (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo, multiplicando os mínimos (0,70 × 0,50) e os máximos (0,90 × 0,70).
- B) [40 ; 63] (🔴) Incorreta. O limite superior está correto, mas o inferior está errado. Não há uma combinação clara que resulte em 40%.
- C) [50 ; 70] (🔴) Incorreta. Este é apenas o intervalo de transparência da película, ignorando o efeito do vidro.
- D) [50 ; 90] (🔴) Incorreta. Este resultado é obtido pegando-se o menor valor mínimo (50%) e o maior valor máximo (90%) dos dados, o que não representa o efeito composto.
- E) [70 ; 90] (🔴) Incorreta. Este é apenas o intervalo de transparência do vidro, ignorando o efeito da película.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
A solução foi obtida ao entender que a transparência final é o produto das transparências individuais. Para encontrar o intervalo, calculamos o produto dos valores mínimos (0,70 × 0,50 = 0,35) e o produto dos valores máximos (0,90 × 0,70 = 0,63), definindo o intervalo como [35% ; 63%].
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
A resposta correta é a alternativa A.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro para problemas de porcentagens sucessivas é: multiplique as taxas decimais. Para encontrar um intervalo, lembre-se: Mínimo = Mínimo × Mínimo e Máximo = Máximo × Máximo.
