Considere que o modelo matemático utilizado no estudo da velocidade V, de uma partícula de um fluido escoando em um tubo, seja diretamente proporcional à diferença dos quadrados do raio R da secção transversal do tubo e da distância x da partícula ao centro da secção que a contém. Isto é, V(x) = K²(R² – x²), em que K é uma constante positiva.
O valor de x, em função de R, para que a velocidade de escoamento de uma partícula seja máxima é de
A) 0.
B) R.
C) 2R.
D) KR.
E) K²R².
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Funções (análise de máximos e mínimos)
- Interpretação de expressões algébricas
🔢 Nível da Questão
🔹Médio — exige leitura atenta e interpretação de fórmula.
✅ Gabarito
- Alternativa A
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado pede o valor de x, em função de R, que torna a velocidade V máxima.
A velocidade de uma partícula está dada por:
- V(x) = K²(R² – x²)
🎯 Nosso objetivo é encontrar o valor de x que faz V(x) ser o maior possível. Ou seja, qual valor de x maximiza a expressão K²(R² – x²)?
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Vamos por partes:
- K² é uma constante positiva → não interfere no máximo.
- A função depende de R² – x², e essa é a parte que precisamos analisar.
- Isso é uma subtração entre dois quadrados: quanto maior for o resultado dessa subtração, maior será V(x).
📌 Importante: o valor máximo de uma função como essa ocorre quando x² for o menor possível.
E o menor valor que x² pode assumir é 0, ou seja, quando x = 0.
📌 Passo 3: Interpretação e Tradução do Texto
📌 R representa o raio do tubo — portanto, é o valor máximo que x pode alcançar, já que x representa a distância até o centro.
👉 Se x está no centro, sua distância é 0.
👉 Se x está na borda, sua distância é R.
Como queremos o máximo de V, precisamos de:
--> R² – x² → o maior possível
Isso acontece quando x² é o menor possível, ou seja:
x = 0
Aqui está o gráfico da função V(x) = K²(R² – x²), que representa a velocidade de escoamento de uma partícula em função da sua distância até o centro do tubo:
📌 Leitura visual do gráfico:
- O eixo horizontal representa a distância x da partícula até o centro do tubo.
- O eixo vertical representa a velocidade da partícula.
- Quando x=0(ou seja, no centro do tubo), a velocidade é máxima.
- Conforme x se afasta do centro e vai em direção à borda do tubo (x=R), a velocidade diminui até zerar.
✅ Isso confirma a resolução da questão: o valor de x que maximiza é x=0, pois é o único ponto em que o termo negativo é nulo, ou seja, não “rouba” nada do valor máximo.
✍️ Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio
Vamos visualizar isso melhor com exemplos rápidos:
- Se x = 0 →
V = K²(R² – 0²) = K²R²
- Se x = R →
V = K²(R² – R²) = K²(0) = 0
🔎 Ou seja, quanto mais longe do centro, menor a velocidade da partícula.
➡️ A velocidade máxima ocorre no centro da seção, quando x = 0.
📌 Passo 5: Análise das Alternativas
Vamos revisar cada uma:
- A) 0 ✅
👉 Correta! Quando x = 0, temos o valor máximo de V.
- B) R ❌
👉 Esse é o ponto mais distante do centro. Nessa posição, x² = R², e V = 0.
- C) 2R ❌
👉 Isso nem faz sentido fisicamente: x não pode ser maior que o raio do tubo.
- D) KR ❌
👉 Essa é uma expressão algébrica, não um valor de x.
- E) K²R² ❌
👉 Esse é o valor de V(x) quando x = 0, mas a pergunta quer o valor de x, não de V(x).
🎯Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A velocidade é máxima quando a partícula está no centro da seção do tubo, ou seja, quando sua distância x = 0. Isso porque, nesse ponto, o valor de x² é mínimo, e portanto a subtração R² – x² atinge seu valor máximo.
