A proprietária de uma confecção pretende liquidar as camisas que possui em estoque, por meio de uma promoção na qual fará a venda de lotes com iguais quantidades de camisas. Para a 1ª semana, pretende anunciar a venda de cada lote de camisas por R$ 720,00. Na 2ª semana, para acelerar as vendas, planeja anunciar a venda de lotes com 3 unidades a mais do que os lotes vendidos na primeira semana, ainda por R$ 720,00 cada lote, e de forma que o preço unitário de cada peça seja R$ 20,00 mais baixo do que o valor que teria sido cobrado por peça na 1ª semana de promoção.
Quantas camisas deverão conter os lotes que serão colocados à venda na 1ª semana para que seja possível praticar essa promoção?
a) 9
b) 12
c) 24
d) 33
e) 105
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Álgebra (Equações do 2º Grau), Sistemas de Equações e Matemática Financeira Básica (Cálculo de Preço Unitário).
Tema/Objetivo Geral: Determinar a quantidade inicial de itens em um lote a partir de variações inversamente proporcionais entre quantidade e preço unitário.
Nível da Questão: Médio.
- O nível se justifica porque a questão exige que o aluno monte o modelo algébrico do zero, transformando o enunciado em uma equação quadrática, o que demanda maior maturidade matemática do que uma simples conta de dividir.
Gabarito: A.
- A alternativa está correta porque, ao vendermos 9 camisas por 720 reais, cada uma custa 80 reais. Se aumentarmos o lote para 12 camisas (9 + 3) pelo mesmo preço total, cada peça passa a custar 60 reais. A diferença entre 80 e 60 é exatamente os 20 reais de desconto exigidos.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Descobrir quantas camisas tinha no primeiro pacote para que, ao colocar mais 3 peças sem mudar o preço total, o valor de cada camisa caia 20 reais”. É um quebra-cabeça de preço e quantidade.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma vaquinha para pizza. Você e seus amigos têm 720 reais. Se aparecerem mais 3 amigos para rachar o mesmo valor, a parte de cada um fica 20 reais mais barata. Quantos amigos tinham no começo? O verdadeiro desafio aqui é equilibrar a balança entre o que entra (camisas) e o que diminui (preço).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Modelar o Preço 1: Valor total dividido pela quantidade inicial.
- Modelar o Preço 2: Valor total dividido pela nova quantidade (inicial + 3).
- Criar a Conexão: O Preço 1 menos o Preço 2 tem que dar 20.
- Resolver a Equação e identificar o valor positivo.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para essa investigação, vamos abandonar as fórmulas decoradas e usar um Fluxograma de Lógica Dedutiva. Bora lá organizar as pistas:
Dossiê de Investigação: A Lógica do Preço Unitário
1. A Variável X: Vamos batizar de x a quantidade de camisas da 1ª semana. É quem queremos prender!
2. O Preço Unitário (P):
- P1 (1ª semana) = 720 / x
- P2 (2ª semana) = 720 / (x + 3)
3. O Elo de Ligação (A Diferença):
- A pista crucial é: P1 – P2 = 20.
4. A Transformação Algébrica:
Ao manipularmos essas frações, cairemos em uma Equação do 2º Grau. Precisaremos das ferramentas de Soma e Produto ou Bhaskara para finalizar o serviço.
5. Filtro de Realidade:
Como estamos falando de camisas físicas, o resultado tem que ser um número inteiro e positivo. Resultados negativos são descartados como falsas pistas.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, Investigador, vamos colocar a mão na massa e fazer os números confessarem:
Montagem da Equação:
720/x – 720/(x + 3) = 20
Simplificando o caminho:
Bora dividir a equação inteira por 20 para facilitar as contas?
36/x – 36/(x + 3) = 1
Eliminando os denominadores:
Multiplicando tudo por x(x + 3):
36(x + 3) – 36x = x(x + 3)
36x + 108 – 36x = x² + 3x
108 = x² + 3x
A Sentença Final (Equação Quadrática):
x² + 3x – 108 = 0
Agora, usamos Soma e Produto:
- Dois números que multiplicados dão -108 e somados dão -3.
- Pensando nos divisores de 108: 9 e 12 parecem suspeitos.
- 12 * 9 = 108. Para a soma ser -3, o 12 deve ser negativo.
- As raízes são -12 (impossível ter camisas negativas) e 9.
Bingo! O número inicial de camisas é 9.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais sedutor aqui é tentar chutar valores sem critério ou se perder na hora de tirar o MMC das frações. A armadilha mortal é esquecer que o valor de 720 é o total do lote, e não o preço da camisa. Se você confundir isso, a conta vai virar um pesadelo de números gigantes. Outra dica: teste as alternativas se a álgebra falhar; é um “atalho de detetive” brutal!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Estabelecemos a relação entre o preço unitário da primeira e da segunda semana. A diferença de 20 reais nos levou a uma equação onde a única solução real possível é 9.
Expectativa: O culpado é o número 9.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 9
Análise de Correspondência: Se x = 9, o preço unitário é 720 / 9 = 80 reais. Na semana seguinte, com 12 camisas (9+3), o preço é 720 / 12 = 60 reais. A redução foi de 80 – 60 = 20 reais. Bate perfeitamente com o enunciado.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
B) 12
A “Narrativa do Erro”: O aluno pode ter confundido o resultado da 1ª semana com o da 2ª semana (que tem 12 peças).
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Se começasse com 12 (preço 60), na semana seguinte teria 15 (preço 48). A diferença seria de apenas 12 reais, não 20.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 24
A “Narrativa do Erro”: O aluno foca em números maiores achando que a escala da liquidação exige muito estoque.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Com 24 camisas, o preço por peça seria 30 reais. Uma redução de 20 reais deixaria a camisa custando apenas 10 reais, o que exigiria um lote de 72 camisas na 2ª semana (um aumento muito maior que 3).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 33
A “Narrativa do Erro”: O aluno escolhe um número que aparece indiretamente em cálculos errados de soma.
O “Diagnóstico do Erro”: Descrever o Meio, não o Fim. O valor unitário inicial seria baixo demais (R$ 21,81) para permitir um desconto de 20 reais sem que a peça saísse de graça.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 105
A “Narrativa do Erro”: O aluno soma o valor total 720 com outros dados e tenta achar uma média aleatória.
O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema. Valor totalmente fora da realidade do sistema de equações proposto.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é 9, validada tanto pela álgebra quanto pelo teste direto dos valores.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Começamos com 9 camisas a 80 reais; terminamos com 12 camisas a 60 reais. O lote cresceu, o bolso agradeceu!
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse problema é um exemplo clássico de Economia de Escala. No mundo real, empresas como a Amazon ou grandes confecções fazem exatamente isso: elas aumentam a quantidade de produtos em um “lote” de produção para diluir os custos fixos (o aluguel da fábrica, no nosso caso os 720 reais). Quanto mais você produz, menor o custo unitário. Entender essa equação é o primeiro passo para quem quer gerir um negócio ou entender por que comprar “no atacado” é sempre mais barato!
