Um rolo de papel higiênico tradicional é representado por um cilindro circular reto retirando-se outro cilindro circular reto interior, de mesmo eixo de simetria, mesma altura e diâmetro menor, conforme a figura.
Considere um rolo de papel higiênico com 12 cm de diâmetro externo, 4 cm de diâmetro interno e 10 cm de altura.
O volume, em centímetro cúbico, desse rolo é
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria, Cálculo de Volume de Cilindros.
📊 Nível da Questão: Médio
📝Tema/Objetivo Geral: Calcular o volume do rolo de papel higiênico representado por dois cilindros, um externo e um interno, utilizando a fórmula de volume de cilindros.
🎯 Gabarito: C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 O comando da questão pede o cálculo do volume de um rolo de papel higiênico representado por um cilindro com um buraco no meio. O volume será dado pela diferença entre o volume do cilindro externo e o volume do cilindro interno. Objetivo: Calcular a diferença entre os volumes do cilindro externo e interno, ou seja, o volume efetivo do rolo de papel higiênico.
🔹 Palavras-chave:
- Cilindro: Geometria tridimensional com duas bases circulares e uma altura.
- Volume: Quantidade de espaço ocupado por um sólido tridimensional.
- Cilindro Externo: Cilindro que envolve o rolo.
- Cilindro Interno: Cilindro vazio no centro do rolo.
Agora que o comando foi analisado e o objetivo definido, vamos abordar os conceitos e conteúdos necessários.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Volume de um Cilindro: O volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Volume = π × r² × h, onde:
- r é o raio da base circular.
- h é a altura do cilindro.
📌 Para o volume do rolo de papel higiênico, o volume será a diferença entre o volume do cilindro externo e o volume do cilindro interno.
🔹 Raio Externo: O raio do cilindro externo é metade do diâmetro externo. Então, r_ext = 12 cm / 2 = 6 cm.
🔹 Raio Interno: O raio do cilindro interno é metade do diâmetro interno. Então, r_int = 4 cm / 2 = 2 cm.
📌 Agora, com esses conceitos e fórmulas, podemos calcular o volume dos dois cilindros.
Com os conceitos bem estabelecidos, vamos agora interpretar o texto da questão.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto da Questão: O enunciado descreve um rolo de papel higiênico com dois cilindros: um externo e um interno. Precisamos calcular o volume do rolo, que é a diferença entre o volume do cilindro maior (externo) e o volume do cilindro menor (interno).
📌 Frases-chave:
- “O volume, em centímetro cúbico, desse rolo” – precisamos calcular o volume efetivo do rolo.
- “12 cm de diâmetro externo” e “4 cm de diâmetro interno” – determinam os raios dos cilindros externo e interno.
- “10 cm de altura” – a altura comum dos dois cilindros.
📌 Traduzindo para termos matemáticos:
- O volume do cilindro externo é dado por V_ext = π × (6²) × 10.
- O volume do cilindro interno é dado por V_int = π × (2²) × 10.
Agora que interpretamos o texto, vamos desenvolver o raciocínio e realizar os cálculos necessários.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro externo:
V_ext = π × (6²) × 10 = π × 36 × 10 = 360π cm³
📌 Agora, vamos calcular o volume do cilindro interno:
V_int = π × (2²) × 10 = π × 4 × 10 = 40π cm³
📌 Finalmente, o volume do rolo será a diferença entre o volume externo e o volume interno:
V_rolo = V_ext – V_int = 360π – 40π = 320π cm³
Com os cálculos realizados, vamos agora analisar as alternativas apresentadas.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 Análise das Alternativas Incorretas:
- A) 80π ❌: O cálculo do volume do cilindro externo foi subestimado.
- B) 160π ❌: O cálculo do volume do cilindro interno foi subestimado.
C) 320π ✅: O volume calculado foi 320π cm³, portanto a alternativa correta é - D) 640π ❌: O volume calculado é maior que o volume do cilindro externo.
- E) 1 280π ❌: O valor é muito maior que o volume real do rolo.
Finalmente, vamos concluir a resolução com um resumo e a justificativa final.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
Calculamos o volume do rolo de papel higiênico subtraindo o volume do cilindro interno (buraco) do volume do cilindro externo. O volume do cilindro externo é 360π cm³, e o volume do cilindro interno é 40π cm³. A diferença é 320π cm³, que é o volume do rolo.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
A alternativa correta é C) 320π.
🔍 Resumo Final: A solução foi obtida por meio da fórmula do volume do cilindro, considerando a diferença entre o volume do cilindro externo e o cilindro interno.
