Um fabricante de creme de leite comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de
A) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
B) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
C) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da embalagem.
D) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
E) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 2/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria espacial (cilindro, volume, área lateral) e proporcionalidade direta.
Tema/Objetivo Geral:
Comparar a área lateral de duas embalagens cilíndricas de mesmo volume para calcular o custo proporcional do rótulo.
Nível da Questão
Médio — exige montar equações de volume para determinar a nova altura/diâmetro e, em seguida, comparar áreas laterais. Não é só aplicação direta de fórmula, mas envolve raciocínio algébrico.
Gabarito
B) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 1/3 na superfície da embalagem coberta pelo rótulo.
Explicação resumida: A área lateral nova corresponde a 2/3 da antiga; como o custo é proporcional, o novo valor será 2/3 de R$ 0,60 = R$ 0,40.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é de…”
1.2 O que está sendo pedido?
Determinar o custo do novo rótulo proporcional à área lateral da nova embalagem.
1.3 Objetivo Cristalino
Comparar as áreas laterais do cilindro inicial e do novo, aplicando a proporcionalidade direta para o custo do rótulo.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que o rótulo cobre só a área lateral, não as bases do cilindro?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Volume do cilindro: V = π * r² * h
(r é o raio, h é a altura).
- Área lateral do cilindro: A_lateral = 2 * π * r * h
(circunferência da base vezes a altura).
- Proporcionalidade direta: Se a área diminui para uma fração do valor original, o custo segue a mesma fração.
Exemplo cotidiano: se o papel para embrulhar um presente ocupa metade da área anterior, o gasto cai também pela metade.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos uma lata cilíndrica antiga e uma nova, ambas com o mesmo volume. Queremos saber quanto o fabricante vai pagar pelo rótulo, que depende da área lateral.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular volume da embalagem antiga.
- Usar esse volume para determinar a altura da nova embalagem (onde altura = diâmetro).
- Calcular áreas laterais antiga e nova.
- Comparar as áreas para descobrir a fração de redução.
- Aplicar essa fração ao custo do rótulo (R$ 0,60).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Cilindro antigo:
raio = 2 cm, altura = 13,5 cm.
Volume = π * 2² * 13,5 = π * 4 * 13,5 = 54π.
Área lateral antiga = 2 * π * 2 * 13,5 = 54π.
Cilindro novo:
altura = diâmetro = d, raio = d/2.
Volume = π * (d/2)² * d = π * d³ / 4.
Igualando volumes:
π * d³ / 4 = 54π
d³ / 4 = 54
d³ = 216
d = 6 cm.
Então, altura = 6 cm, raio = 3 cm.
Área lateral nova = 2 * π * 3 * 6 = 36π.
Comparação:
An / Ai = 36π / 54π = 2/3.
Ou seja, a nova área é 2/3 da antiga → redução de 1/3.
Novo custo:
0,60 * 2/3 = 0,40.
4.2 Verificação Intermediária
O novo rótulo é mais barato, já que a área reduziu, o que bate com a lógica: latas mais “gordas” e baixas têm menos área lateral para o mesmo volume.
4.3 Possível armadilha
Uma confusão comum é usar a área total do cilindro (incluindo tampas) em vez da área lateral. O problema fala explicitamente em rótulo, que envolve só a lateral.
4.4 Fechamento e Expectativa
O valor final deve estar abaixo de R$ 0,60 e corresponder a R$ 0,40.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) R$ 0,20, redução de 2/3.
B) R$ 0,40, redução de 1/3.
C) R$ 0,60, sem alteração.
D) R$ 0,80, aumento de 1/3.
E) R$ 1,00, aumento de 2/3.
5.2 Justificativa Individual
A) 🔴 R$ 0,20.
Errada: redução foi de 1/3, não de 2/3.
B) 🟢 R$ 0,40.
Correta: área lateral diminui para 2/3 da original → custo proporcional R$ 0,40.
C) 🔴 R$ 0,60.
Errada: o volume é o mesmo, mas a superfície lateral mudou, então o custo do rótulo também muda.
D) 🔴 R$ 0,80.
Errada: indicaria aumento da área lateral em 1/3, o que não ocorreu.
E) 🔴 R$ 1,00.
Errada: área lateral não aumentou, muito menos em 2/3.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Determinamos que a nova lata tem dimensões 6 cm de altura e 6 cm de diâmetro, o que dá área lateral 2/3 da antiga. Logo, o custo cai para 2/3 de R$ 0,60 = R$ 0,40.
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa correta: B) R$ 0,40.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre confira se a questão fala de área lateral ou área total — no caso de rótulos, é sempre apenas a lateral do cilindro.
