Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros tubo cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
A) 12 cm.
B) 12 √2 cm.
C) 24 √2 cm.
D) 6(1+√2) cm.
E) 12(1+√2) cm.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (Círculos, Quadrado, Teorema de Pitágoras)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo da dimensão (raio) de uma figura geométrica composta a partir da análise das suas partes.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois a solução não é imediata. É preciso visualizar uma figura geométrica “escondida” (o quadrado que liga os centros dos círculos menores) e combinar diferentes conceitos de geometria plana — propriedades de círculos, quadrados e o Teorema de Pitágoras — para chegar à resposta.
Gabarito:
A alternativa correta é a D. A resposta está correta porque o raio do tubo maior é a soma do raio de um tubo menor com a metade da diagonal do quadrado formado pelos centros dos quatro tubos menores, resultando em 6(1 + √2) cm.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“…a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular o raio exato do tubo cilíndrico maior que acondiciona perfeitamente os quatro tubos menores.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar a medida do raio do círculo maior, utilizando a medida do raio dos círculos menores e as propriedades geométricas da figura.
1.4 Pergunta de Atenção
Você consegue ver o quadrado que se forma ao ligar o centro dos quatro círculos pequenos? Ele é a chave para resolver o problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisaremos de algumas ferramentas da geometria plana:
- Raio de um Círculo (r): É a distância do centro do círculo até qualquer ponto de sua borda.
- Quadrado: É uma figura com quatro lados iguais e quatro ângulos de 90°.
- Teorema de Pitágoras: É a relação fundamental em um triângulo retângulo, que diz que o quadrado da hipotenusa (o lado mais longo, c) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os lados que formam o ângulo de 90°, a e b).
- Fórmula: a² + b² = c²
- Diagonal de um Quadrado: A linha que liga dois vértices opostos. Em um quadrado de lado L, a diagonal d pode ser calculada usando um atalho derivado de Pitágoras:
- Fórmula: d = L√2
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você precisa projetar uma lata de Pringles gigante para guardar quatro latas de atum, perfeitamente justas, sem sobrar nem faltar espaço. Você sabe o raio da lata de atum (6 cm). Sua tarefa é descobrir qual deve ser o raio da lata de Pringles gigante. A dica é olhar para o “miolo” da figura, imaginando linhas que ligam o centro de cada uma das latinhas de atum.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Visualizar e desenhar um quadrado conectando os centros dos quatro círculos menores.
- Calcular o comprimento do lado desse quadrado.
- Usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da diagonal desse quadrado.
- Com a diagonal do quadrado, determinar o diâmetro do círculo maior.
- Dividir o diâmetro por 2 para encontrar o raio final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a nossa estratégia.
- 1. Desenhando o quadrado central:
- Se ligarmos os centros dos quatro círculos menores, formaremos um quadrado perfeito. O centro desse quadrado coincide com o centro do círculo maior.
- 2. Calculando o lado desse quadrado (L):
- O lado do quadrado é a distância entre os centros de dois círculos vizinhos. Como eles se tocam, essa distância é a soma de seus raios.
- L = raio + raio = 6 cm + 6 cm
- L = 12 cm
- 3. Calculando a diagonal do quadrado (d):
- Essa diagonal d é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são os lados do quadrado.
- Usando o Teorema de Pitágoras:
d² = L² + L²
d² = 12² + 12²
d² = 144 + 144
d² = 288
d = √288 - Para simplificar √288, podemos fatorar: √288 = √(144 * 2) = 12√2 cm.
- 4. Calculando o diâmetro do círculo maior (D):
- O diâmetro do círculo maior passa pelo centro e toca as bordas dos círculos menores que estão em posições opostas (ex: o de cima à esquerda e o de baixo à direita).
- Essa distância é composta por três partes: o raio do primeiro círculo + a diagonal do quadrado + o raio do último círculo.
- D = raio + d + raio
- D = 6 + 12√2 + 6
- D = 12 + 12√2 cm
- 5. Calculando o raio do círculo maior (R):
- O raio é metade do diâmetro.
- R = D / 2
- R = (12 + 12√2) / 2
- R = 6 + 6√2 cm
- Podemos fatorar o 6 para deixar a resposta mais elegante:
- R = 6(1 + √2) cm
4.2 Verificação Intermediária
O raio do círculo maior (aprox. 6 * (1 + 1,41) = 14,46 cm) é maior que o raio de dois círculos menores empilhados (12 cm), o que faz sentido devido ao espaço criado no centro. A lógica está correta.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria pensar que o diâmetro do círculo grande é simplesmente o diâmetro de dois círculos pequenos (6+6+6+6 = 24 cm). Isso estaria incorreto, pois ignora a geometria diagonal do arranjo e o espaço vazio que se forma no centro, o que torna a diagonal a medida crucial.
4.4 Fechamento e expectativa
O nosso cálculo nos levou a um raio de 6(1 + √2) cm. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 12 cm.
B) 12√2 cm.
C) 24√2 cm.
D) 6(1+√2) cm.
E) 12(1+√2) cm.
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 12 cm: Incorreta. Este é o raio de dois círculos menores colocados lado a lado, ou o diâmetro de um círculo menor.
- (🔴) B) 12√2 cm: Incorreta. Este é o comprimento da diagonal do quadrado formado pelos centros, mas não inclui os “pedaços” de raio nas extremidades.
- (🔴) C) 24√2 cm: Incorreta. Não corresponde a um cálculo lógico derivado do problema.
- (🟢) D) 6(1+√2) cm: Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo para o raio do círculo maior.
- (🔴) E) 12(1+√2) cm: Incorreta. Este é o valor do diâmetro do círculo maior, não do raio.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, identificamos uma figura chave: o quadrado formado pelos centros dos quatro círculos menores. Calculamos o lado desse quadrado, depois sua diagonal usando o Teorema de Pitágoras. O diâmetro do círculo maior foi encontrado somando-se a diagonal do quadrado a dois raios dos círculos menores. Por fim, dividimos o diâmetro por dois para obter o raio.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 6(1+√2) cm.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de geometria com círculos que se tocam, a estratégia mais poderosa é quase sempre ligar os centros deles. Isso revela figuras geométricas mais simples (como quadrados e triângulos) que são a chave para a solução.
