Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral.
O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago.
Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é
A) V(x) = 902x
B) V(x) = 930x
C) V(x) = 900 + 30x
D) V(x) = 60x + 2x²
E) V(x) = 900 – 30x – 2x²
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Construção de função quadrática
- Interpretação de variação de preço em função de vagas
- Produtos notáveis (distributiva) e organização de termos algébricos
📔 Nível da Questão:
Médio para avançado – Apesar da operação ser simples, o desafio está na modelagem algébrica correta da situação descrita, algo que costuma confundir quem não organiza bem as variáveis ou não visualiza o impacto das vagas no valor final.
✅ Gabarito:
- Letra E
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Função do 2º grau aplicada a uma situação real de transporte coletivo
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“A expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Construir a função V(x) que calcula o valor total arrecadado, em função do número de lugares vagos (x).
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Entender como o número de lugares vagos afeta o preço por passageiro e, a partir disso, gerar uma expressão matemática que represente o total recebido na viagem.
4️⃣ Dica Geral:
Toda vez que o problema envolve aumento de preço por escassez (como lugares vagos), a função costuma ser quadrática, pois há variação no número de pagantes e no preço por pessoa.
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Se a van não está cheia, quem está pagando cobre os lugares vagos. Você consegue montar o preço pago por passageiro com base nisso?
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muitos alunos montam a função só com o número de passageiros ocupando os assentos (15 – x), esquecendo que o preço pago por cada um também muda conforme o número de vagas.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹1. Função do valor total arrecadado
Queremos calcular o valor total recebido pelo dono da van, dependendo do número de lugares vagos. Isso é uma função composta, pois duas grandezas variam:
- número de passageiros pagantes (que é 15 – x)
- preço pago por cada um, que aumenta R$2,00 a cada lugar vago
🔹2. Capacidade e relação com x
A capacidade máxima da van é 15 passageiros.
Se x representa o número de lugares vagos, então o número de passageiros que estão na van é:
- número de passageiros = 15 – x
🔹3. Preço pago por passageiro
Se a van estiver lotada, o valor cobrado por passageiro é R$60,00.
Mas se houver x lugares vagos, o valor aumenta R$2,00 para cada lugar vago, ou seja:
- preço por passageiro = 60 + 2x
🔹4. Valor arrecadado total
Agora, multiplicamos:
- número de passageiros pagantes = 15 – x
- preço pago por cada um = 60 + 2x
Então a função V(x) (valor total arrecadado) será:
- V(x) = (15 – x) × (60 + 2x)
🔷 Passo 3: Desenvolvimento do Raciocínio
Vamos desenvolver:
- V(x) = (15 – x)(60 + 2x)
Aplicando distributiva (ou chuveirinho):
- V(x) = 15 × 60 + 15 × 2x – x × 60 – x × 2x
- V(x) = 900 + 30x – 60x – 2x²
Agora organizamos os termos semelhantes:
- V(x) = 900 – 30x – 2x²
🔷 Passo 4: Análise das Alternativas e Resolução
Vamos comparar:
- A) V(x) = 902x → ❌ absurda, só tem termo de 1º grau
- B) V(x) = 930x → ❌ idem
- C) V(x) = 900 + 30x → ❌ não considera a perda por vagas (falta o –2x²)
- D) V(x) = 60x + 2x² → ❌ troca de papel: trata x como número de passageiros, o que está errado
- E) V(x) = 900 – 30x – 2x² → ✅ correta!
🔷 Passo 5: Conclusão e Justificativa Final
✅ A função do valor arrecadado, em função do número de lugares vagos, é:
- V(x) = (15 – x)(60 + 2x)
E ao desenvolver:
- V(x) = 900 – 30x – 2x²
✅ Essa expressão representa corretamente a queda de passageiros pagantes e o aumento do valor por vaga vazia.
✅ Gabarito: Letra E
