Um casal planeja construir em sua chácara uma piscina com o formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 90 000 L de água. O casal contratou uma empresa de construções que apresentou cinco projetos com diferentes combinações nas dimensões internas de profundidade, largura e comprimento. A piscina a ser construída terá revestimento interno em suas paredes e fundo com uma mesma cerâmica, e o casal irá escolher o projeto que exija a menor área de revestimento.
As dimensões internas de profundidade, largura e comprimento, respectivamente, para cada um dos projetos, são:
• projeto I: 1,8 m, 2,0 m e 25,0 m;
• projeto II: 2,0 m, 5,0 m e 9,0 m;
• projeto III: 1,0 m, 6,0 m e 15,0 m;
• projeto IV: 1,5 m, 15,0 m e 4,0 m;
• projeto V: 2,5 m, 3,0 m e 12,0 m.
O projeto que o casal deverá escolher será o
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Área de Superfície de Paralelepípedos) e Aritmética.
Tema/Objetivo Geral
Cálculo de área total para revestimento. O objetivo é determinar qual configuração de dimensões (profundidade, largura e comprimento) resulta na menor área de superfície (fundo + paredes).
Nível da Questão: Médio
- A matemática envolvida é básica (multiplicação e soma), mas a questão exige trabalhosa verificação de cinco cenários diferentes. Um pequeno erro de cálculo em qualquer um dos projetos pode levar a uma resposta errada. É um teste de resistência e organização.
Gabarito: Alternativa B
- Ao calcularmos a área de revestimento (Área da Base + Área Lateral) para todos os projetos, o Projeto II apresentou o menor resultado total (101 m²).
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O casal quer economizar na cerâmica. A questão pede para calcularmos a área total das superfícies internas da piscina (chão + 4 paredes) para cinco projetos diferentes e apontar qual deles tem a menor área.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você precisa encapar uma caixa de sapato sem a tampa (piscina aberta).
Você tem 5 caixas de formatos diferentes, mas todas comportam a mesma quantidade de água.
Qual caixa gasta menos papel de presente para ser encapada por dentro?
Não estamos calculando o volume (água), estamos calculando a “casca” (cerâmica).
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Definir a Fórmula: Estabelecer como calcular a área de revestimento (Fundo + Paredes).
- Calcular Projeto por Projeto: Fazer a conta para as opções I, II, III, IV e V.
- O Leilão Inverso: Comparar os resultados e escolher o menor valor.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A piscina é um paralelepípedo reto retângulo (uma caixa). Para organizar as fórmulas necessárias, vamos usar uma tabela prática.
| Componente da Piscina | O que é? | Como calcular (Fórmula em Texto) |
| Fundo da Piscina | É o chão (base retangular). | Largura x Comprimento |
| Paredes Laterais | São as 4 paredes verticais. | 2 x Profundidade x (Largura + Comprimento) |
| Área Total (Revestimento) | A soma de tudo que será azulejado. | Fundo + Paredes |
| Variáveis | As letras que usaremos. | P = Profundidade; L = Largura; C = Comprimento |
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular a área de revestimento para cada projeto listado na imagem, usando a lógica da tabela acima.
Projeto I
Dimensões: P = 1,8; L = 2,0; C = 25,0
Fundo: 2 x 25 = 50
Paredes: 2 x 1,8 x (2 + 25) -> 3,6 x 27 = 97,2
Total I: 50 + 97,2 = 147,2 m²
Projeto II
Dimensões: P = 2,0; L = 5,0; C = 9,0
Fundo: 5 x 9 = 45
Paredes: 2 x 2,0 x (5 + 9) -> 4 x 14 = 56
Total II: 45 + 56 = 101,0 m² (Candidato forte!)
Projeto III
Dimensões: P = 1,0; L = 6,0; C = 15,0
Fundo: 6 x 15 = 90
Paredes: 2 x 1,0 x (6 + 15) -> 2 x 21 = 42
Total III: 90 + 42 = 132,0 m²
Projeto IV
Dimensões: P = 1,5; L = 15,0; C = 4,0
Fundo: 15 x 4 = 60
Paredes: 2 x 1,5 x (15 + 4) -> 3 x 19 = 57
Total IV: 60 + 57 = 117,0 m²
Projeto V
Dimensões: P = 2,5; L = 3,0; C = 12,0
Fundo: 3 x 12 = 36
Paredes: 2 x 2,5 x (3 + 12) -> 5 x 15 = 75
Total V: 36 + 75 = 111,0 m²
Comparação Final:
I: 147,2
II: 101,0 (Vencedor)
III: 132,0
IV: 117,0
V: 111,0
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é calcular o Volume em vez da Área.
Se você multiplicar as três dimensões (1,8 x 2 x 25), vai encontrar 90 (ou 90.000 litros) para todos os projetos. Isso é uma pegadinha para quem não lê o enunciado (“menor área de revestimento”). Todos têm o mesmo volume, a diferença é a área da casca.
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio:
Calculamos a área de superfície (sem tampa) de cinco prismas. O Projeto II resultou em 101 m², sendo o valor mais baixo entre as opções.
Expectativa: Devemos marcar a alternativa que indica o Projeto II.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
(A) I.
Análise de Correspondência: Resultou em 147,2 m². É a maior área de todas, ou seja, a opção mais cara.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(B) II.
Análise de Correspondência: Resultou em 101,0 m². É a menor área calculada. Representa a maior economia de material.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
(C) III.
Diagnóstico do Erro: Resultou em 132,0 m². Embora tenha paredes baixas (profundidade 1,0), a base é muito grande (90 m²), o que encarece o revestimento.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(D) IV.
Diagnóstico do Erro: Resultou em 117,0 m². Não é o menor valor.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
(E) V.
Diagnóstico do Erro: Resultou em 111,0 m². Foi o segundo melhor projeto, mas ainda perde para o Projeto II por 10 m².
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta é a Alternativa B. O formato do Projeto II otimiza a relação entre volume e área de superfície.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Para economizar papel de presente, evite caixas muito compridas ou muito achatadas. Busque o formato mais compacto.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Na Natureza e na Física, a forma geométrica que possui a menor área de superfície para um dado volume não é um paralelepípedo, é a Esfera. É por isso que gotas de água e bolhas de sabão são redondas: elas economizam energia minimizando sua superfície. Na construção civil, como é difícil fazer paredes redondas, buscamos o cubo (ou formas próximas a ele) para economizar material.
