O dono de uma loja pretende usar cartões imantados para a sua divulgação de sua loja. A empresa que fornecerá o serviço lhe informa que o custo de fabricação do cartão é de R$0,01 por centímetro quadrado e que disponibiliza modelos tendo como faces úteis para impressão:
• um triângulo equilátero de lado 12 cm;
• um quadrado de lado 8 cm;
• um retângulo de lados 11 cm e 8 cm;
• um hexágono regular de lado 6cm;
• um círculo de diâmetro 10 cm.
O dono da loja está disposto a pagar, no máximo, R$0,80 por cartão. Ele escolherá, dentro desse limite de preço, o modelo que tiver maior área de impressão.
Use 3 como aproximação para π e use 1,7 como aproximação para √3.
Nessas condições, o modelo que deverá ser escolhido tem como face útil para impressão um
A) triângulo
B) quadrado
C) retângulo
D) hexágono
E) círculo
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Plana: Cálculo de Áreas de Figuras Planas).
Matemática Financeira (Relação Custo x Área).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a área de cinco figuras geométricas diferentes (Triângulo, Quadrado, Retângulo, Hexágono e Círculo) e selecionar a que possui a maior área possível, desde que essa área não ultrapasse um valor limite imposto pelo orçamento financeiro.
Nível da Questão
Médio.
Exige a memorização de cinco fórmulas de área diferentes e paciência para realizar as contas de multiplicação com decimais sem errar.
Gabarito
Letra E.
A alternativa está correta pois a área do círculo é de 75 cm². Esse valor respeita o limite máximo de 80 cm² (imposto pelo preço) e é maior do que as áreas do triângulo (61,2 cm²) e do quadrado (64 cm²).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
O dono da loja quer o maior cartão possível, mas tem um teto de gastos.
- Regra 1 (O Limite): Ele só paga até R$ 0,80.
- Regra 2 (O Custo): Cada 1 cm² custa R$ 0,01.
- Missão: Descobrir qual a área máxima permitida e, em seguida, calcular a área de cada opção para ver quem ganha (maior área) sem estourar o orçamento.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você vai comprar um terreno.
O metro quadrado custa 1 centavo. Você tem 80 centavos no bolso.
Isso significa que você pode comprar, no máximo, 80 metros quadrados.
Agora, o corretor te mostra 5 terrenos com formatos diferentes.
Dois deles são gigantes (maiores que 80), você não tem dinheiro para comprar.
Três deles cabem no bolso. Desses três, você quer o maior.
O verdadeiro desafio aqui é lembrar as fórmulas de área, especialmente a do Hexágono e a do Triângulo Equilátero.
Plano de Ataque:
- Definir a Área Limite: Custo Máximo dividido pelo Custo Unitário.
- Calcular as Áreas: Fazer a conta para as 5 figuras.
- Filtrar: Eliminar as que passam do limite.
- Escolher: Pegar a maior entre as que sobraram.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos abrir a maleta da Geometria Plana.
Ferramenta 0: O Limite
Area Maxima = 0,80 / 0,01 = 80 cm².
(Qualquer figura maior que 80 cm² está eliminada).
Ferramenta 1: Triângulo Equilátero
Fórmula: A = (L² . raiz(3)) / 4
- Dado: raiz(3) = 1,7.
Ferramenta 2: Quadrado
Fórmula: A = L . L (ou L²)
Ferramenta 3: Retângulo
Fórmula: A = Base . Altura
Ferramenta 4: Hexágono Regular
O Hexágono é feito de 6 Triângulos Equiláteros.
Fórmula: A = 6 . (L² . raiz(3)) / 4
Ferramenta 5: Círculo
Fórmula: A = Pi . r²
- Dado: Pi = 3.
- Atenção: O texto dá o Diâmetro (10), mas a fórmula usa o Raio (5).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular um por um e comparar com o limite de 80 cm²:
1. Triângulo Equilátero (Lado 12)
A = (12² . 1,7) / 4
A = (144 . 1,7) / 4
Dica: Divida 144 por 4 primeiro.
A = 36 . 1,7
A = 61,2 cm²
Veredito: Cabe no orçamento. (Candidato 1).
2. Quadrado (Lado 8)
A = 8 . 8
A = 64 cm²
Veredito: Cabe no orçamento e é maior que o triângulo. (Novo líder).
3. Retângulo (Lados 11 e 8)
A = 11 . 8
A = 88 cm²
Veredito: Passou de 80. Muito caro. Eliminado.
4. Hexágono Regular (Lado 6)
A = 6 . [(6² . 1,7) / 4]
A = 6 . [(36 . 1,7) / 4]
A = 6 . [9 . 1,7]
A = 54 . 1,7
A = 91,8 cm²
Veredito: Passou de 80. Caríssimo. Eliminado.
5. Círculo (Diâmetro 10 -> Raio 5)
A = 3 . 5²
A = 3 . 25
A = 75 cm²
Veredito: Cabe no orçamento (75 < 80). E é maior que o quadrado (64).
O Pódio Final (dos que cabem no bolso):
- Círculo (75) – CAMPEÃO 🏆
- Quadrado (64)
- Triângulo (61,2)
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com o Diâmetro do Círculo!
Muitos alunos leem “10 cm” e jogam direto na fórmula: 3 x 10² = 300.
Isso daria uma área gigante, eliminando o círculo por ser caro demais.
Sempre lembre: A geometria ama o Raio, não o Diâmetro. Se o Diâmetro é 10, o Raio é 5.
Outro erro comum: Esquecer de verificar o limite de preço e marcar o Hexágono (91,8) só porque ele é o maior de todos. A questão pede o maior dentro do limite.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O limite é 80. Retângulo e Hexágono estouram. Entre Triângulo, Quadrado e Círculo, o Círculo é o maior.
- Expectativa: Círculo.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) triângulo
- Diagnóstico do Erro: Cálculo correto, escolha errada.
- Análise: A área é 61,2 cm². Cabe no orçamento, mas é a menor das opções válidas. O dono quer a maior área possível.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) quadrado
- Diagnóstico do Erro: Parou no meio.
- Análise: A área é 64 cm². É maior que o triângulo, mas perde para o círculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) retângulo
- Diagnóstico do Erro: Ignorou o orçamento.
- Análise: A área é 88 cm². O custo seria R
0,88.OlimiteeˊR0,88.OlimiteeˊR0,80. O dono não pode pagar. - Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) hexágono
- Diagnóstico do Erro: Ignorou o orçamento / “Olho maior que a barriga”.
- Análise: A área é 91,8 cm². É a maior figura de todas, mas custaria quase R$ 0,92. Estoura o limite financeiro.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) círculo
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise:
- Custo: R$ 0,75 (pois a área é 75 cm²).
- Está abaixo do teto de R$ 0,80.
- É a maior área entre as opções pagáveis (75 > 64 > 61,2).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para otimizar a propaganda, o lojista precisou resolver um sistema de inequações geométricas: calcular as áreas de todas as figuras, filtrar as que custariam mais de R$ 0,80 (área > 80 cm²) e, dentre as restantes, eleger a maior, consagrando o Círculo como a forma mais eficiente.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Retângulo e Hexágono são caros demais. O Círculo é o maior que o dinheiro pode comprar.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com a Desigualdade Isoperimétrica.
Na natureza, o círculo é a forma que, para um determinado perímetro (quantidade de borda), oferece a maior área possível. É por isso que gotas de água e planetas são redondos: é a forma mais eficiente de guardar volume/área com a menor quantidade de “casca” possível. Aqui, ele venceu pela eficiência de preencher espaço!
