Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.
Sabe-se que 1 cm³ = 1 mL e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).
Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a capacidade volumétrica, em milímetro, dessa caneca?
A) 216
B) 408
C) 732
D) 2196
E) 2928
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (volume de sólidos, cones)
- Semelhança de Triângulos
- Operações Algébricas
Nível da Questão Médio
Gabarito Alternativa C
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
A questão apresenta uma caneca em formato de tronco de cone, formada pela diferença entre dois cones: um maior e um menor. O objetivo é calcular o volume do tronco de cone e expressá-lo em mililitros.
Palavras-chave: Tronco de cone, semelhança de triângulos, volume, aproximação de π.
Objetivo: Determinar a capacidade volumétrica da caneca, em mililitros, utilizando a fórmula do volume de cones.
Dica Geral: Sempre verifique se o tronco de cone pode ser calculado como a diferença de dois volumes de cones, e utilize semelhança de triângulos para determinar alturas adicionais.
Passo 2: Tradução e Interpretação do Texto
A caneca é formada pela subtração do volume do cone menor (base inferior) do cone maior (base superior), ambos com alturas relacionadas por semelhança de triângulos:
- O diâmetro da base superior D=10 cm, logo o raio R=5 cm.
- O diâmetro da base inferior d=8 cm, logo o raio r=4 .
- A altura da caneca h=12 cm, que é a altura do tronco de cone.
Para calcular o volume total, é necessário determinar a altura total H do cone maior (que inclui o cone menor).
Passo 3: Explicação de Conceitos Necessários
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
- Alternativa A: 216
- Errada. Este valor é significativamente inferior ao volume real do tronco de cone.
- Correção: Usar os cálculos corretos para obter 732 cm³.
- Alternativa B: 408
- Errada. Subestima o volume do tronco de cone.
- Correção: Considerar a altura total H+h no cone maior.
- Alternativa C: 732
- Correta. Este valor coincide com o volume calculado.
- Alternativa D: 2196
- Errada. Superestima o volume.
- Correção: Ajustar para 732 cm³.
- Alternativa E: 2928
- Errada. Muito superior ao volume calculado.
- Correção: Seguir os cálculos corretos com H+h e H.
Dica Geral: Em questões envolvendo troncos de cone, lembre-se de sempre calcular o volume como a diferença entre dois cones completos.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A capacidade volumétrica da caneca é dada pelo volume do tronco de cone, que corresponde à diferença entre os volumes do cone maior e do cone menor. Após realizar os cálculos, encontramos o volume V=732 cm³, equivalente a 732 mL. Portanto, a resposta correta é a alternativa C.
Resumo Final
A caneca tem capacidade volumétrica de 732 mL, calculada a partir das relações de semelhança de triângulos e da fórmula do volume de cones.
