Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.
Sabe-se que 1 cm³ = 1 mL e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base).
Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a capacidade volumétrica, em milímetro, dessa caneca?
A) 216
B) 408
C) 732
D) 2196
E) 2928
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Matemática (Geometria Espacial: Tronco de Cone).
Matemática (Geometria Plana: Semelhança de Triângulos).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular o volume de uma caneca (tronco de cone) usando o método da subtração: calcula-se o volume de um cone grande imaginário e subtrai-se a ponta que falta.
Nível da Questão
Médio.
O aluno precisa visualizar que a caneca é um cone cortado e usar a semelhança de triângulos para descobrir a altura da parte que foi cortada.
Gabarito
Letra C.
A alternativa está correta pois, ao calcular o volume do cone completo (1500 mL) e subtrair o volume da ponta (768 mL), restam 732 mL de capacidade na caneca.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A questão pede o volume da caneca.
A forma da caneca é um Tronco de Cone (boca larga e fundo estreito).
Dados fornecidos:
- Diâmetro da Boca = 10 cm. (Logo, o Raio Maior é 5 cm).
- Diâmetro do Fundo = 8 cm. (Logo, o Raio Menor é 4 cm).
- Altura da Caneca = 12 cm.
- Valor de Pi = 3.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um chapéu de festa (cone).
Se você cortar a ponta do chapéu, sobra a parte de baixo (a caneca).
Para saber o volume da caneca, a conta é:
(Volume do Chapéu Inteiro) menos (Volume da Pontinha Cortada).
O problema é que não sabemos a altura dessa pontinha cortada. Vamos ter que descobrir.
Plano de Ataque:
- Achar a Altura da Ponta: Usar regra de três (semelhança de triângulos).
- Calcular o Volume do Cone Grande: (Pi x R² x Altura Total) / 3.
- Calcular o Volume da Ponta: (Pi x r² x Altura da Ponta) / 3.
- Subtrair: Grande menos Pequeno.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar duas ferramentas básicas.
Ferramenta 1: Semelhança de Triângulos (Thales)
Ao desenhar o cone completo, vemos que a proporção entre os Raios é igual à proporção entre as Alturas.
- Raio Grande / Raio Pequeno = Altura Total / Altura Pequena.
Ferramenta 2: Fórmula do Volume do Cone
Volume = (Área da Base x Altura) / 3.
Ou seja: V = (Pi x Raio x Raio x Altura) / 3.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Passo A: Descobrir a altura da ponta (H)
Vamos chamar a altura da ponta de H.
A altura total do cone será 12 (caneca) + H (ponta).
Pela semelhança:
Raio Maior (5) está para Raio Menor (4), assim como Altura Total (12 + H) está para Altura da Ponta (H).
5 / 4 = (12 + H) / H
Multiplicando cruzado:
5 vezes H = 4 vezes (12 + H)
5H = 48 + 4H
5H – 4H = 48
H = 48 cm (Essa é a altura da ponta).
Logo, a altura do Cone Grande é 12 + 48 = 60 cm.
Passo B: Calcular os Volumes
Lembre-se que Pi vale 3.
Volume do Cone Grande (Raio 5, Altura 60):
V = (3 x 5 x 5 x 60) / 3
Dica: Corte o 3 de cima com o 3 de baixo.
V = 25 x 60
V = 1.500 mL
Volume da Ponta Pequena (Raio 4, Altura 48):
V = (3 x 4 x 4 x 48) / 3
Dica: Corte o 3 de cima com o 3 de baixo.
V = 16 x 48
V = 768 mL
Passo C: Subtração Final
Volume da Caneca = 1.500 – 768
Volume = 732 mL
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO com a Média!
Muitos alunos tentam fazer uma média dos raios (Raios 5 e 4 -> Média 4,5) e calcular como se fosse um cilindro reto.
Conta errada: Volume = 3 x 4,5 x 4,5 x 12 = 729.
O resultado (729) dá muito perto do correto (732). Isso é perigoso! A matemática exata exige a subtração dos cones. Não use atalhos de média em volumes cônicos.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Cone Grande (1500) menos Cone Pequeno (768) é igual a 732.
- Expectativa: O valor 732.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 216.
- Diagnóstico do Erro: Cálculo sem sentido.
- Análise: Valor muito baixo, provavelmente fruto de uso de dados errados (como usar diâmetro menor como raio).
B) 408.
- Diagnóstico do Erro: Erro de fórmula.
- Análise: Valor que não corresponde à geometria do tronco.
C) 732.
- Análise de Correspondência: Perfeita.
- Análise: Resultado exato da diferença entre os dois cones calculados (1500 – 768).
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 2 196.
- Diagnóstico do Erro: Esqueceu de dividir por 3.
- Análise: A fórmula do cone tem um “dividido por 3”. Se o aluno esquecer isso, o resultado triplica. 732 vezes 3 é igual a 2196.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 2 928.
- Diagnóstico do Erro: Usou Diâmetro em vez de Raio.
- Análise: Se usar os diâmetros (10 e 8) na fórmula em vez dos raios (5 e 4), o resultado quadruplica (porque o raio é ao quadrado). 732 vezes 4 é igual a 2928.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Para medir o volume de um copo cônico, usamos a estratégia da “parte que falta”: calculamos o cone gigante imaginário e subtraímos a ponta invisível, resultando nos exatos 732 mL da caneca.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
Caneca = Cone Grande menos Cone Pequeno.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Conecte isso com Design de Embalagens.
Copos de milkshake e potes de iogurte são troncos de cone (e não cilindros) por um motivo logístico: eles empilham. Um entra dentro do outro, economizando espaço no caminhão e no estoque. O cilindro reto não empilha. A geometria define a logística!
