Em uma região com grande incidência de terremotos, observou-se que dois terremotos ocorridos apresentaram magnitudes M1, e M2, medidos segundo a escala Richter, e liberaram energias iguais a E1, e E2, respectivamente. Entre os estudiosos do assunto, é conhecida uma expressão algébrica relacionando esses valores dada por
Estudos mais abrangentes observaram que o primeiro terremoto apresentou a magnitude M1 = 6.9 e a energia liberada foi um décimo da observada no segundo terremoto.
O valor aproximado da magnitude M2, do segundo terremoto, expresso com uma casa decimal, é igual a
A) 5,4
B) 6,2
C) 7,6
D) 8,2
E) 8,4
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Matemática (Logaritmos: Definição e Propriedades Básicas)
- Álgebra (Substituição de Variáveis e Isolamento de Incógnita)
- Aritmética (Operações com Decimais e Frações)
- Tema/Objetivo Geral: Calcular a magnitude de um terremoto usando uma fórmula logarítmica dada, baseando-se na relação de proporcionalidade entre as energias liberadas.
- Nível da Questão: Médio.
- A questão fornece a fórmula, o que elimina a necessidade de memorização. O desafio é interpretar “um décimo da energia” para montar a fração correta dentro do logaritmo e, depois, realizar a conta com decimais e dízimas (2/3 = 0,66…) sem erros de arredondamento.
- Gabarito: C
- A alternativa está correta. Ao descobrirmos que a razão de energias é 10, o logaritmo de 10 na base 10 vira 1. O cálculo final resume-se a somar 2/3 (aprox. 0,67) à magnitude original de 6,9, resultando em 7,57, que arredondamos para 7,6.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Em bom português, a missão é: “Ocorreram dois terremotos. Sabemos a força do primeiro (6,9) e sabemos que o segundo foi 10 vezes mais energético que o primeiro. Usando a fórmula mágica dos geólogos, qual foi a nota (magnitude) desse segundo terremoto na escala Richter?”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine um amplificador de som.
- Girar o botão de volume um pouquinho (Magnitude) faz o som ficar muito mais alto (Energia).
- Aqui, a energia multiplicou por 10. A pergunta é: quanto o botão de volume girou para a direita? (Dica: em escalas logarítmicas, multiplicar a energia por 10 é apenas “um passinho” na escala).
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Traduzir o “Decifrador”: Entender matematicamente o que significa “E1 é um décimo de E2”.
- Preparar o Logaritmo: Substituir essa relação na fração E2/E1 dentro da fórmula.
- Resolver a Equação: Calcular o valor numérico e somar ao M1 para achar o M2.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para resolver este caso, precisamos da Definição Básica de Logaritmo Decimal.
DOSSIÊ: O PODER DO LOGARITMO (BASE 10)
1. O Log Oculto:
Quando escrevemos “log” sem número embaixo, a base é 10.
A pergunta que o log faz é: “10 elevado a quanto dá o número aqui dentro?”
2. A Ferramenta Chave:
log(10) = 1
(Por quê? Porque 10 elevado a 1 é igual a 10).
Sempre que a razão das energias for 10, 100, 1000, o logaritmo será um número inteiro lindo (1, 2, 3…).
3. A Fração 2/3:
Na fórmula aparece a fração 2/3.
Lembre-se: 2 dividido por 3 = 0,666…
Para contas aproximadas com uma casa decimal (como pede a questão), usaremos 0,67.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos colocar os números na máquina.
1. Interpretando a Energia:
O enunciado diz: “a energia liberada (no primeiro, E1) foi um décimo da observada no segundo (E2)”.
Matematicamente: E1 = E2 / 10
Se passarmos o 10 multiplicando, temos: E2 = 10 . E1
Isso significa que a razão E2 / E1 = 10. (O segundo é 10 vezes mais forte).
2. Aplicando na Fórmula:
A fórmula é: M2 – M1 = (2/3) . log(E2 / E1)
Substituindo os dados que temos:
- M1 = 6,9
- (E2 / E1) = 10
Fica assim:
M2 – 6,9 = (2/3) . log(10)
3. Resolvendo o Logaritmo:
Sabemos que log(10) vale 1.
M2 – 6,9 = (2/3) . 1
M2 – 6,9 = 2/3
4. A Conta Final:
Vamos converter 2/3 para decimal para somar com 6,9.
2 dividido por 3 é aproximadamente 0,666… Vamos arredondar para 0,67.
M2 = 6,9 + 0,67
M2 = 7,57
O enunciado pede “com uma casa decimal”.
Arredondando 7,57 -> 7,6.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é na interpretação do texto “E1 é um décimo de E2”.
Muitos alunos escrevem a fração ao contrário: E2/E1 = 1/10.
Se você fizer isso, o log(1/10) será -1.
A conta ficaria: M2 – 6,9 = -0,67 -> M2 = 6,23.
Veja que 6,2 está na Alternativa B! É uma armadilha para quem inverteu quem é o terremoto forte e quem é o fraco. O segundo terremoto tem MAIS energia, logo sua magnitude TEM que ser maior que 6,9.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Identificamos que a razão E2/E1 vale 10. O log de 10 é 1. Somamos 2/3 (0,67) à magnitude inicial de 6,9.
- Expectativa: Um valor ligeiramente superior a 6,9. Especificamente, 7,57 arredondado para 7,6.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 5,4
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro grosseiro de operação. O aluno pode ter subtraído 1,5 (inverso de 2/3?) ou feito alguma confusão com logaritmos negativos de forma errada.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 6,2
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão da Razão. O aluno interpretou que o segundo terremoto era mais fraco (E2/E1 = 1/10). Isso gera log = -1, e ele subtraiu 0,67 de 6,9. (6,9 – 0,7 = 6,2).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
C) 7,6
- Análise de Correspondência: Perfeita. Corresponde à soma correta: 6,9 + 0,666… = 7,566… O arredondamento para uma casa decimal leva a 7,6.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
D) 8,2
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na constante. O aluno pode ter ignorado o “2/3” da fórmula e somado 1,3 (log de 20?) ou somado incorretamente valores inteiros.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
E) 8,4
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Logaritmo. O aluno pode ter achado que log(10) era 2, ou somado 1,5 (3/2) em vez de 2/3.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa C é a correta. A escala Richter nos ensina que a natureza é exponencial: uma pequena variação no número da magnitude esconde um aumento brutal na energia liberada.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Multiplicar a energia por 10 é apenas subir um degrau de 0,67 na escala da magnitude.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio logarítmico que usamos aqui para terremotos é usado na Química para medir o pH (acidez). Um pH 5 não é “um pouquinho” mais ácido que o pH 6; ele tem 10 vezes mais íons de hidrogênio. Assim como na escala Richter, os logaritmos servem para comprimir números gigantescos (como a energia de um terremoto ou a quantidade de moléculas) em uma reguinha pequena e fácil de ler (de 0 a 10 ou 0 a 14).
