Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/9
d) 2/3
e) 4/3
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Razão e Proporção, Divisão Proporcional)
- Aritmética (Frações)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo da fração de um capital a ser transferida entre sócios para igualar suas participações.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a aplicação de conceitos de divisão proporcional e a manipulação de frações. O raciocínio não é complexo, mas envolve vários passos: calcular as participações iniciais, determinar a participação final (igualitária) e, por fim, calcular a fração a ser transferida.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: O problema é resolvido determinando-se as participações iniciais de cada sócio (4/16, 6/16, 6/16) e a participação final desejada (1/3 para cada). Antônio, que tem 4/16 (ou 1/4), precisa chegar a 1/3. A diferença é de 1/12. Essa fração deve vir de Joaquim e José. Como a pergunta pede a fração do capital de cada sócio, e não do capital total, precisamos calcular o quanto a redução de Joaquim (de 6/16 para 1/3) representa em relação à sua parte original (6/16). Essa razão é 1/9.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é”
O que está sendo pedido?
A questão tem uma sutileza importante. Ela não pergunta qual fração do capital total Antônio deve adquirir de cada sócio, mas sim qual fração do capital que cada sócio possui deve ser transferida.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Determinar a participação inicial de cada sócio como uma fração do capital total.
- Determinar a participação final de cada sócio (que será igual para todos).
- Calcular a fração do capital total que Joaquim e José devem transferir cada um.
- Calcular o que essa fração transferida representa em relação à participação original de Joaquim (ou José).
🧠 Se Joaquim precisa transferir 1/12 do capital total, isso é o mesmo que transferir 1/12 da sua própria parte? Não! A base da fração é diferente, e essa é a chave da questão.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Divisão Proporcional: Dividir um todo em partes que seguem uma determinada proporção. A soma das proporções (4 + 6 + 6 = 16) se torna o denominador da fração que representa o todo.
- Fração de uma Fração: Para calcular uma fração “de” outra, multiplicamos as frações. Para saber que fração x representa “de” y, calculamos a razão x / y.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine uma pizza dividida em 16 fatias.
- Antônio (A) tem 4 fatias.
- Joaquim (J) tem 6 fatias.
- José (Z) tem 6 fatias.
Eles decidem que a divisão justa é todo mundo ficar com partes iguais. Como são 3 pessoas, cada um deveria ter 1/3 da pizza. Antônio, que tem poucas fatias, vai comprar um pouco de Joaquim e um pouco de José até que todos tenham a mesma quantidade.
A pergunta é: que pedaço da parte de Joaquim ele teve que vender para Antônio?
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será trabalhar com frações do capital total.
- Encontrar as frações iniciais (A_ini, J_ini, Z_ini).
- Encontrar a fração final (F_final).
- Calcular a fração transferida por Joaquim (Transferência = J_ini – F_final).
- Calcular a razão pedida: (Transferência) / (J_ini).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular as participações iniciais
- Partes proporcionais: 4, 6, 6.
- Soma das partes = 4 + 6 + 6 = 16.
- Essa soma (16) representa o capital total.
- Participação de Antônio (A_ini) = 4/16 = 1/4
- Participação de Joaquim (J_ini) = 6/16 = 3/8
- Participação de José (Z_ini) = 6/16 = 3/8
Etapa 2: Calcular a participação final igualitária
- O capital total será dividido igualmente entre os 3 sócios.
- Participação final de cada um (F_final) = 1/3
Etapa 3: Calcular a fração do capital total que cada sócio (Joaquim/José) deve transferir
- Eles precisam sair de sua participação inicial (6/16) e chegar à final (1/3).
- Fração transferida (em relação ao total) = J_ini – F_final
- Fração transferida = 6/16 – 1/3
- Para subtrair, encontramos o mínimo múltiplo comum de 16 e 3, que é 48.
- Fração transferida = (18/48) – (16/48) = 2/48 = 1/24
- Verificação: Antônio precisa ganhar 2/24 (ou 1/12) no total. Ele precisa comprar 1/24 de Joaquim e 1/24 de José. Sua parte final será: 4/16 + 1/24 + 1/24 = 1/4 + 2/24 = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. O cálculo está correto.
Etapa 4: Calcular a fração do capital de cada sócio que será adquirida
- A pergunta é: o que a fração transferida (1/24 do total) representa da parte que Joaquim possuía (6/16 do total)?
- Razão pedida = (Fração transferida) / (Participação inicial de Joaquim)
- Razão = (1/24) / (6/16)
- Para dividir frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda:
- Razão = (1/24) × (16/6)
- Razão = 16 / (24 × 6)
- Simplificando 16 e 24 por 8:
- Razão = 2 / (3 × 6) = 2 / 18
- Razão = 1/9
Conclusão: Antônio deverá adquirir 1/9 do capital de cada um dos outros dois sócios.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é parar na Etapa 3 e responder com a fração do capital total que é transferida (1/24), que não está nas alternativas. A segunda armadilha é calcular a fração que Antônio precisa adquirir no total (1/12) e não perceber que essa fração vem de duas fontes. A terceira e mais sutil é não ler o comando corretamente e não entender que a base para o cálculo da fração final é o capital do sócio, e não o capital da empresa.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um resultado de 1/9. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1/2
🔴 B) 1/3
🟢 C) 1/9 Correta. Corresponde exatamente à fração calculada.
🔴 D) 2/3
🔴 E) 4/3
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema foi resolvido em quatro etapas. Primeiro, calculou-se a participação fracionária inicial de cada sócio no capital total, com base nas proporções dadas (Antônio: 4/16, Joaquim: 6/16, José: 6/16). Em segundo lugar, determinou-se a participação final igualitária, que é 1/3 para cada sócio. Em terceiro, calculou-se a fração do capital total que cada um dos sócios majoritários (Joaquim e José) deve transferir para atingir a meta, que é a diferença entre sua parte inicial e final: 6/16 – 1/3 = 1/24. Finalmente, calculou-se a fração que essa transferência representa em relação ao capital original de cada um desses sócios, dividindo a fração transferida pela participação inicial: (1/24) / (6/16) = 1/9.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de fração, preste muita atenção à pergunta final: “fração do quê?”. A base da fração é tudo. “Fração do capital da empresa” é uma coisa. “Fração do capital do sócio” é outra completamente diferente, e era essa a chave da questão.
