Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.
Disponível em: www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.
Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura.
Entre os octógonos e na borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os 15 espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos:
1 – Triângulo retângulo isósceles;
2 – Triângulo equilátero;
3 – Quadrado.
Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato
a) 1
b) 3
c) 1 e 2
d) 1 e 3
e) 2 e 3
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Polígonos Regulares, Ângulos Internos)
- Visualização Espacial e Raciocínio Geométrico
🎯 Tema/Objetivo Geral
Identificação das formas geométricas necessárias para preencher os espaços vazios em uma pavimentação (ou mosaico) composta por polígonos regulares.
📊 Nível da Questão
Médio.
Por quê? A questão exige a análise visual dos espaços vazios e a dedução de suas formas geométricas. Embora a identificação do quadrado central seja mais direta, a identificação dos triângulos nos cantos e bordas requer uma análise mais cuidadosa dos ângulos do octógono e de como eles se encaixam no painel retangular.
✅ Gabarito
Alternativa D.
Resumo: A pavimentação com octógonos regulares deixa dois tipos de espaços vazios: quadrados no “miolo” do painel e triângulos retângulos isósceles nas bordas e cantos. Portanto, são necessários azulejos de ambos os formatos (1 e 3) para o preenchimento completo.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de formato”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para identificar quais são as formas geométricas dos 15 espaços em branco que precisam ser preenchidos no painel de azulejos.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é analisar a imagem, identificar os diferentes tipos de “buracos” que a montagem dos octógonos deixa, e nomear a forma geométrica de cada um desses tipos.
🧠 Você consegue ver que existem dois tipos diferentes de espaços em branco na imagem? Um tipo fica no meio, entre quatro octógonos, e o outro tipo fica nas bordas do painel.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Octógono Regular: É um polígono com 8 lados iguais e 8 ângulos internos iguais.
- Ângulo Interno de um Polígono Regular: A fórmula para calcular o ângulo interno (Ai) de um polígono regular de n lados é:
Ai = (n – 2) ⋅ 180° / n- Para o octógono (n=8): Ai = (8 – 2) ⋅ 180° / 8 = 6 ⋅ 180° / 8 = 1080° / 8 = 135°.
- Pavimentação (ou Tesselação): É o preenchimento de um plano com figuras geométricas, sem sobreposição e sem deixar espaços vazios.
- Triângulo Retângulo Isósceles: É um triângulo que tem um ângulo de 90° (retângulo) e dois lados iguais (isósceles). Consequentemente, seus outros dois ângulos são iguais a 45°.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que você está colocando um piso na sua cozinha usando apenas azulejos em formato de octógono. Quando você junta quatro desses azulejos, você percebe que fica um “buraco” no meio deles. Que formato tem esse buraco? Além disso, quando você encosta os azulejos nas paredes retas, também sobram uns “cantinhos” vazios. Que formato têm esses cantinhos?
A questão nos pede para dar o nome a esses dois tipos de buracos para que possamos comprar os azulejos de preenchimento corretos.
Estratégia Geral 🗺️
Nossa estratégia será analisar os dois tipos de espaços em branco separadamente:
- Espaços Internos: Analisar a forma do espaço criado no encontro de quatro octógonos.
- Espaços de Borda: Analisar a forma do espaço criado entre os octógonos e as bordas retangulares do painel.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Análise 1: O Espaço Interno
- Visualização: Observe os espaços em branco no centro do painel. Cada um deles é formado pelo encontro de quatro octógonos.
- Análise Geométrica: Cada um desses espaços é um quadrilátero. Como os octógonos são regulares, seus lados são todos iguais. Os lados desse quadrilátero são formados por um lado de cada um dos quatro octógonos adjacentes. Portanto, os quatro lados do quadrilátero são iguais.
- Análise dos Ângulos: O ângulo em cada vértice desse quadrilátero é formado pelo espaço entre dois ângulos internos de 135° dos octógonos que se encontram. Se traçarmos uma linha reta (180°), o ângulo do espaço seria 180°-135° = 45°? Não. O encontro de 4 octógonos formaria um ângulo de 360°. Mas eles não se encontram em um único ponto.
- A Forma Mais Simples: Um quadrilátero com quatro lados iguais e cujos lados são paralelos aos eixos do retângulo é um quadrado. A simetria da construção garante que os ângulos sejam de 90°.
- Conclusão 1: Os espaços internos são quadrados (Formato 3).
Análise 2: Os Espaços nas Bordas
- Visualização: Observe os espaços em branco nos cantos e nas laterais do painel.
- Análise Geométrica nos Cantos: No canto superior esquerdo, por exemplo, temos um espaço com três lados. É um triângulo.
- Um lado é a borda superior (horizontal) do painel.
- O outro lado é a borda esquerda (vertical) do painel.
- Como as bordas são perpendiculares, o ângulo entre elas é de 90°. Portanto, é um triângulo retângulo.
- O terceiro lado é um dos lados do octógono. A simetria da figura nos diz que os dois catetos (os lados que formam o ângulo de 90°) são iguais. Portanto, é um triângulo retângulo isósceles (Formato 1).
- Análise Geométrica nas Bordas Laterais (sem ser canto): Esses espaços maiores podem ser vistos como a junção de dois triângulos retângulos isósceles ou como trapézios, mas a loja não oferece trapézios. A forma mais simples de preencher todos os espaços das bordas é usando peças de triângulo retângulo isósceles. Por exemplo, o espaço entre dois octógonos na borda superior pode ser preenchido com dois desses triângulos “costas com costas”.
Conclusão Final:
Para preencher todos os 15 espaços em branco, precisamos de dois tipos de azulejos:
- Quadrados (Formato 3) para os espaços internos.
- Triângulos retângulos isósceles (Formato 1) para os espaços nas bordas e cantos.
A Armadilha Comum 🚨
A armadilha seria não perceber que existem dois tipos diferentes de espaços em branco e escolher uma alternativa com apenas um formato de azulejo. Outra armadilha seria errar na identificação das formas, por exemplo, achando que os triângulos são equiláteros (o que é geometricamente impossível nesse arranjo).
Fechamento e Expectativa
A análise nos leva a procurar a alternativa que liste os formatos 1 (Triângulo retângulo isósceles) e 3 (Quadrado).
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1.
Incorreta. Este formato é necessário, mas não é o único. Faltam os quadrados.
🔴 B) 3.
Incorreta. Este formato é necessário, mas não é o único. Faltam os triângulos.
🔴 C) 1 e 2.
Incorreta. O triângulo equilátero (formato 2) não se encaixa nos espaços.
🟢 D) 1 e 3.
Correta. A pavimentação requer tanto triângulos retângulos isósceles (para as bordas) quanto quadrados (para os espaços internos).
🔴 E) 2 e 3.
Incorreta. O triângulo equilátero (formato 2) não é necessário.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A pavimentação de um painel retangular com octógonos regulares gera espaços vazios que precisam ser preenchidos. A análise geométrica da ilustração revela a existência de dois tipos distintos de espaços. Os espaços formados no encontro de quatro octógonos, no interior do painel, têm a forma de quadrados. Os espaços formados entre os octógonos e as bordas retilíneas do painel têm a forma de triângulos retângulos isósceles. Portanto, para o preenchimento completo e adequado de todos os 15 espaços em branco, são necessários azulejos de ambos os formatos: triângulo retângulo isósceles (1) e quadrado (3).
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de pavimentação, preste atenção aos “buracos”. Olhe para os vértices onde as figuras se encontram. A soma dos ângulos em torno de um vértice interno deve ser 360°. Para um vértice na borda, a soma deve ser 180°. Isso te ajudará a descobrir os ângulos e, consequentemente, as formas dos polígonos de preenchimento.
