A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m³/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
A) 90 m³/s.
B) 750 m³/s.
C) 1.050 m³/s.
D) 1.512 m³/s.
E) 2.009 m³/s.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área de Trapézio)
- Física (Vazão)
- Razão e Proporção
Tema/Objetivo Geral:
- Calcular a nova vazão de água em uma canaleta após uma reforma, utilizando a relação entre vazão, área da seção transversal e velocidade do fluxo.
Nível da Questão
- Médio – A questão é de nível médio porque combina conceitos de geometria e física. Exige que o aluno calcule a área de duas figuras geométricas diferentes, use uma fórmula de vazão para encontrar uma constante (a velocidade) e, em seguida, aplique essa constante em um novo cenário para encontrar o resultado final. A necessidade de seguir uma sequência lógica de múltiplos passos eleva a complexidade.
Gabarito
- D) 1.512 m³/s. – Este é o valor correto da nova vazão, obtido ao multiplicar a nova área da seção da canaleta (90 m²) pela velocidade da água (16,8 m/s), que foi calculada a partir das condições iniciais.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte do enunciado que nos diz o que fazer é: “Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos o novo valor da vazão (Q₂) após a canaleta ser reformada (Figura II), com a condição de que a velocidade da água (v) permaneça a mesma de antes da reforma.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a nova vazão (Q₂), usando a fórmula Q₂ = A₂ * v. Para isso, precisamos primeiro descobrir a área A₂ e a velocidade v.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a chave para resolver o problema é a velocidade (v)? O enunciado nos diz que ela é a mesma antes e depois da reforma. Isso significa que podemos usar os dados da “situação antiga” para descobrir o valor de ‘v’ e depois aplicar esse mesmo valor na “situação nova”.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Trapézio: Um quadrilátero com dois lados paralelos, chamados de bases.
- Área do Trapézio: A = [(Base maior + base menor) * altura] / 2
- Vazão (Q): É a medida do volume de um fluido que passa por uma determinada seção em um intervalo de tempo. É como medir “quantos metros cúbicos de água passam por segundo”.
- Fórmula da Vazão: Q = A * v
- Q: Vazão (em m³/s)
- A: Área da seção transversal por onde o fluido passa (em m²)
- v: Velocidade média do fluido (em m/s)
- Fórmula da Vazão: Q = A * v
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar nisso como uma mangueira. A quantidade de água que sai (vazão) depende de duas coisas: o quão grossa é a mangueira (área) e o quão rápido a água está se movendo (velocidade). O problema nos mostra uma canaleta antes e depois de uma reforma que a deixou maior. A “grossura” (área) mudou. A questão nos diz que a velocidade da água não mudou. Nossa tarefa é calcular a nova vazão, já que a canaleta ficou mais larga.
3.2 Estratégia Geral
A estratégia será um processo de três etapas:
- Análise da Situação 1 (Antes): Usar os dados da Figura I (área A₁) e a vazão inicial (Q₁) para calcular a velocidade da água (v) usando a fórmula Q₁ = A₁ * v.
- Análise da Situação 2 (Depois): Calcular a nova área da seção da canaleta (A₂) usando os dados da Figura II.
- Cálculo Final: Usar a nova área (A₂) e a velocidade (v) que encontramos na etapa 1 para calcular a nova vazão (Q₂) com a fórmula Q₂ = A₂ * v.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Encontrar a velocidade (v) da água.
Primeiro, calculamos a área da canaleta antes da reforma (Figura I). É um trapézio.
- Base maior (B) = 30 m
- Base menor (b) = 20 m
- Altura (h) = 2,5 m
- A₁ = [(B + b) * h] / 2
A₁ = [(30 + 20) * 2,5] / 2
A₁ = [50 * 2,5] / 2
A₁ = 125 / 2
A₁ = 62,5 m²
Agora, usamos a fórmula da vazão Q₁ = A₁ * v, com Q₁ = 1.050 m³/s.
1.050 = 62,5 * v
v = 1.050 / 62,5
v = 16,8 m/s
Esta é a velocidade constante da água.
Etapa 2: Calcular a nova área (A₂) da canaleta.
Agora, calculamos a área da canaleta depois da reforma (Figura II).
- Base maior (B) = 49 m
- Base menor (b) = 41 m
- Altura (h) = 2,0 m
- A₂ = [(B + b) * h] / 2
A₂ = [(49 + 41) * 2] / 2
A₂ = [90 * 2] / 2
A₂ = 180 / 2
A₂ = 90 m²
Etapa 3: Calcular a nova vazão (Q₂).
Usamos a nova área (A₂) e a velocidade (v) que já descobrimos.
Q₂ = A₂ * v
Q₂ = 90 m² * 16,8 m/s
Q₂ = 1.512 m³/s
4.2 Verificação Intermediária
A área da canaleta aumentou de 62,5 m² para 90 m². Como a velocidade da água se manteve, é esperado que a vazão também aumente. Nosso resultado (Q₂ = 1.512 m³/s) é maior que o inicial (Q₁ = 1.050 m³/s), o que é coerente com a física do problema.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria confundir os dados das duas figuras, usando, por exemplo, a altura da Figura I com as bases da Figura II. Outro erro seria tentar resolver o problema por uma regra de três simples entre as áreas e as vazões sem calcular a velocidade como um passo intermediário. Embora a vazão seja diretamente proporcional à área (com v constante), seguir o passo a passo de encontrar ‘v’ primeiro é mais seguro e conceitualmente correto.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao valor de 1.512 m³/s para a nova vazão. Esperamos encontrar este valor exato entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- A) 90 m³/s.
- B) 750 m³/s.
- C) 1.050 m³/s.
- D) 1.512 m³/s.
- E) 2.009 m³/s.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) 90 m³/s: Incorreto. O valor 90 corresponde à nova área (A₂), não à nova vazão (Q₂).
- 🔴 (B) 750 m³/s: Incorreto. Resultaria de um erro de cálculo.
- 🔴 (C) 1.050 m³/s: Incorreto. Este é o valor da vazão antes da reforma.
- 🟢 (D) 1.512 m³/s: Correto. Corresponde exatamente ao valor que encontramos ao multiplicar a nova área (90 m²) pela velocidade constante da água (16,8 m/s).
- 🔴 (E) 2.009 m³/s: Incorreto. Resultaria de um erro de cálculo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada em um processo de três etapas: primeiro, calculamos a área da seção da canaleta original e usamos a vazão inicial para determinar a velocidade do fluxo de água. Em seguida, calculamos a área da nova seção da canaleta. Por fim, multiplicamos essa nova área pela velocidade (que permaneceu constante) para encontrar a nova vazão.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D, que corresponde a 1.512 m³/s.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que envolvem uma mudança de cenário com uma grandeza constante, use os dados do cenário inicial para descobrir o valor dessa constante. Depois, aplique esse valor constante às condições do novo cenário para encontrar a resposta.
