Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.

Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
A altura da nova embalagem será igual a 4/3 da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.
Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?


Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (volumes de prismas), Proporcionalidade
Nível da Questão: Médio
Gabarito: x = (3a) / 2 (Alternativa D)
Tema/Objetivo Geral: Determinar a relação entre a nova aresta da base (x) e a aresta atual (a), sabendo que o volume da nova embalagem deve ser o triplo do volume atual e que a nova altura é (4/3) da altura antiga.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Retomar o Comando da Questão:
“O enunciado informa que há uma embalagem em forma de prisma reto de base quadrada, com aresta da base a e altura h. Quer-se criar uma nova embalagem de mesma forma, mas com capacidade triplicada. A altura da nova embalagem será (4/3) de h, e a aresta da base será x. É preciso encontrar x em função de a.”
🔹 Explicação Detalhada:
- Volume do prisma original = (área da base) × (altura) = (a × a) × h.
- O novo volume deve ser 3 vezes esse valor, e a nova altura será (4/3) × h.
- Queremos expressar x (nova aresta) em termos de a.
📌 Identificação de Palavras-Chave:
- “triplo do volume”, “nova altura = (4/3)h”, “x = ?”.
📌 Definição do Objetivo:
Encontrar a relação x = ? em função de a para que a nova embalagem tenha volume triplo da anterior e altura (4/3)h.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Volume de um Prisma de Base Quadrada:
- Se a base tem lado a, então a área da base é a × a.
- O volume é (a × a) × h = a² × h.
🔹 Fórmula de Volume:
- Volume original: V₁ = a² × h.
- Volume novo: V₂ = x² × (4h/3) (pois a base é x × x e a altura é (4h/3)).
🔹 Condição de Triplo do Volume:
- V₂ = 3 × V₁.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Análise do Contexto:
- Precisamos impor a condição: (nova altura) × (nova área da base) = 3 × (antiga altura) × (antiga área da base).
- Substituir “altura nova = 4h/3” e “aresta da base nova = x”.
📌 Frases-Chave:
- “capacidade igual ao triplo da atual”, “altura nova = 4/3 da altura atual”.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Resolução Passo a Passo:
- Volume Antigo (V₁):
- V₁ = a² × h
- Volume Novo (V₂):
- Base quadrada de lado x → área da base = x²
- Altura nova = (4h/3)
- V₂ = x² × (4h/3)
- Condição de Triplo do Volume:
- x² × (4h/3) = 3 × (a² × h)
- Isolar x²:
- (4h/3) × x² = 3 × a² × h
- Dividindo ambos os lados por h, e depois por (4/3):
- x² = [3 × a² × h] / [(4h)/3]
- Simplificar: o h cancela, e dividir por (4/3) é multiplicar por (3/4):
- x² = 3 × a² × (3/4)
- x² = (9/4) × a²
- Tomar a Raiz:
- x = a × (√(9/4))
- √(9/4) = 3/2
- x = (3a)/2
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
Reescrita das Alternativas:
A) x = a
B) x = 3a
C) x = 9a
D) x = (3a)/2
E) x = a × √3
🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ O resultado do cálculo é (3a)/2, correspondendo à Alternativa D.
🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ As demais não correspondem à expressão derivada do triplo do volume com a nova altura.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
- Volume original: a² × h
- Volume novo: x² × (4h/3)
- Impor que o novo volume seja triplo: x² × (4h/3) = 3 × (a² × h)
- Resolvendo, obtemos x = (3a)/2.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
O valor de x em função de a é (3a)/2, confirmando a Alternativa D.
🔍 Resumo Final:
Para que a nova embalagem tenha volume triplo e altura (4/3)h, a aresta da base deve ser (3a)/2, garantindo o triplo da capacidade. A resposta correta é a Alternativa D.