Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.
Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
A altura da nova embalagem será igual a 4/3 da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.
Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Espacial (Volume do Prisma).
Álgebra (Equações Algébricas e Radiciação).
Tema/Objetivo Geral:
Redimensionar um sólido geométrico (prisma) para que ele atinja uma nova meta de volume, ajustando suas medidas lineares (base e altura) de forma proporcional.
Nível da Questão
Médio.
Exige a montagem de uma equação algébrica comparativa (“Volume Novo = 3 x Volume Velho”) e manipulação de frações e raízes quadradas. O aluno precisa ter segurança em isolar variáveis.
Gabarito
Letra D.
A nova aresta da base (x) deve ser igual a 3a/2.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos uma caixa de suco (Prisma) com medidas “a” e “h”.
Queremos fabricar uma caixa nova que guarde 3 vezes mais suco (Volume Triplo).
Já decidimos que a nova altura será um pouco maior (4/3 da altura velha).
A pergunta é: Qual deve ser o tamanho da base (“x”) para que a conta feche?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine que você tem uma piscina quadrada.
Você quer que ela tenha o triplo de água.
Você aumentou a profundidade (altura) só um pouquinho.
Agora você precisa alargar a piscina. Quanto você deve alargar os lados para caber toda essa água extra?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Fórmula do Volume Velho: Escrever o volume da caixa atual em função de “a” e “h”.
- Fórmula do Volume Novo: Escrever o volume da caixa nova em função de “x” e a nova altura.
- A Equação Mestra: Igualar o “Volume Novo” a “3 vezes o Volume Velho”.
- Isolamento: Resolver a equação para encontrar o valor de “x”.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos usar a fórmula clássica do Prisma Reto.
Volume do Prisma:
V = Área da Base × Altura
Como a base é um quadrado de lado L:
V = L² × H
As Peças do Quebra-Cabeça:
- Caixa Velha: Lado = a, Altura = h.
- Caixa Nova: Lado = x, Altura = 4h/3.
- Regra de Ouro: V_novo = 3 × V_velho.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos montar e resolver a equação.
1. Calculando os Volumes
- Volume Velho (V1) = a² × h
- Volume Novo (V2) = x² × (4h/3)
2. Aplicando a Regra de Ouro (Triplo da Capacidade)
V2 = 3 × V1
Substituindo pelas fórmulas:
x² × (4h/3) = 3 × (a² × h)
3. Limpando a Casa (Simplificação)
Temos “h” (altura) multiplicando dos dois lados da igualdade. Podemos cortar!
x² × (4/3) = 3 × a²
4. Isolando o “x”
Queremos deixar o “x” sozinho. Vamos passar o (4/3) para o outro lado.
Quem está dividindo (3), passa multiplicando.
Quem está multiplicando (4), passa dividindo.
x² = (3 × a²) × (3/4)
x² = (3 × 3 × a²) / 4
x² = 9a² / 4
5. O Golpe Final (Tirando a Raiz)
Para achar o “x”, precisamos tirar a raiz quadrada de tudo.
x = √(9a² / 4)
Raiz de 9 é 3.
Raiz de a² é a.
Raiz de 4 é 2.
Logo:
x = 3a / 2
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é esquecer de tirar a raiz quadrada no final.
Muitos alunos chegam em x² = 9a²/4 e procuram algo parecido nas alternativas (como a letra C, 9a). Lembre-se: O volume depende do quadrado da base. Se você quer triplicar o volume, a base não triplica linearmente, ela cresce pela raiz quadrada da proporção.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Igualamos as equações, cortamos a altura, isolamos o x² e extraímos a raiz. Resultado: 3a sobre 2.
- Expectativa: Procurar a fração 3a/2.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) x = a.
Diagnóstico do Erro: O Conservador.
Achou que mudar apenas a altura seria suficiente, ou esqueceu de multiplicar por 3.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) x = 3a.
Diagnóstico do Erro: Linearidade Ingênua.
O aluno pensou: “Se o volume triplica, o lado triplica”. Esqueceu que o volume depende do lado ao quadrado e que a altura também mudou.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) x = 9a.
Diagnóstico do Erro: O Esquecido da Raiz.
O aluno chegou corretamente à equação x² = 9a² (ignorando o 4 da altura por algum motivo) e esqueceu de tirar a raiz quadrada.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) x = 3a / 2.
Análise de Correspondência:
Correto. Resultado exato da manipulação algébrica x = √(9a²/4).
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) x = a√3.
Diagnóstico do Erro: O Matemático Parcial.
O aluno pensou: “Se o volume triplica e a altura não mudasse, o lado seria a√3”. Ele ignorou a mudança da altura (4/3) no cálculo.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta correta é a Alternativa D, pois ao compensarmos o aumento da altura (fator 4/3) com a necessidade de triplicar o volume total, a aresta da base deve aumentar na razão da raiz quadrada do fator resultante, chegando a 1,5 vezes (3/2) a aresta original.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Volume é Base vezes Altura. Se a Altura ajuda pouco (4/3), a Base tem que trabalhar dobrado (3/2 ao quadrado) para o volume triplicar.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Este problema é um exercício de Scaling (Escalonamento), fundamental em engenharia e biologia.
Por exemplo: Por que não existem formigas gigantes? Se você aumentar uma formiga 10 vezes (lado linear), o volume (e o peso) dela aumenta 1000 vezes (cubo), mas a força das pernas (que depende da área da seção transversal do músculo) só aumenta 100 vezes (quadrado). A formiga colapsaria sob o próprio peso. Entender como diferentes dimensões (L, L², L³) crescem em ritmos diferentes é a chave para entender o mundo físico.
