Questão 169 caderno azul do ENEM 2022 PPL – Dia 2

Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.

Questão 169 - Enem PPL 2022 - Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no,alturade medida,enem

Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.

altura da nova embalagem será igual a 4/3 da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.

Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?

Questão 169 - Enem PPL 2022 - Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no,alturade medida,enem

Resolução em texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (volumes de prismas), Proporcionalidade

Nível da Questão: Médio

Gabarito: x = (3a) / 2 (Alternativa D)

Tema/Objetivo Geral: Determinar a relação entre a nova aresta da base (x) e a aresta atual (a), sabendo que o volume da nova embalagem deve ser o triplo do volume atual e que a nova altura é (4/3) da altura antiga.


Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

📌 Retomar o Comando da Questão:
“O enunciado informa que há uma embalagem em forma de prisma reto de base quadrada, com aresta da base a e altura h. Quer-se criar uma nova embalagem de mesma forma, mas com capacidade triplicada. A altura da nova embalagem será (4/3) de h, e a aresta da base será x. É preciso encontrar x em função de a.”

🔹 Explicação Detalhada:

  • Volume do prisma original = (área da base) × (altura) = (a × a) × h.
  • O novo volume deve ser 3 vezes esse valor, e a nova altura será (4/3) × h.
  • Queremos expressar x (nova aresta) em termos de a.

📌 Identificação de Palavras-Chave:

  • “triplo do volume”, “nova altura = (4/3)h”, “x = ?”.

📌 Definição do Objetivo:
Encontrar a relação x = ? em função de a para que a nova embalagem tenha volume triplo da anterior e altura (4/3)h.


Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários

📌 Conceitos Matemáticos Essenciais:
🔹 Volume de um Prisma de Base Quadrada:

  • Se a base tem lado a, então a área da base é a × a.
  • O volume é (a × a) × h = a² × h.

🔹 Fórmula de Volume:

  • Volume original: V₁ = a² × h.
  • Volume novo: V₂ = x² × (4h/3) (pois a base é x × x e a altura é (4h/3)).

🔹 Condição de Triplo do Volume:

  • V₂ = 3 × V₁.

Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto

📌 Análise do Contexto:

  • Precisamos impor a condição: (nova altura) × (nova área da base) = 3 × (antiga altura) × (antiga área da base).
  • Substituir “altura nova = 4h/3” e “aresta da base nova = x”.

📌 Frases-Chave:

  • “capacidade igual ao triplo da atual”, “altura nova = 4/3 da altura atual”.

Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

📌 Resolução Passo a Passo:

  1. Volume Antigo (V₁):
    • V₁ = a² × h
  2. Volume Novo (V₂):
    • Base quadrada de lado x → área da base = x²
    • Altura nova = (4h/3)
    • V₂ = x² × (4h/3)
  3. Condição de Triplo do Volume:
    • x² × (4h/3) = 3 × (a² × h)
  4. Isolar x²:
    • (4h/3) × x² = 3 × a² × h
    • Dividindo ambos os lados por h, e depois por (4/3):
    • x² = [3 × a² × h] / [(4h)/3]
    • Simplificar: o h cancela, e dividir por (4/3) é multiplicar por (3/4):
    • x² = 3 × a² × (3/4)
    • x² = (9/4) × a²
  5. Tomar a Raiz:
    • x = a × (√(9/4))
    • √(9/4) = 3/2
    • x = (3a)/2

Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução

Reescrita das Alternativas:
A) x = a
B) x = 3a
C) x = 9a
D) x = (3a)/2
E) x = a × √3

🔹 Justificativa da Alternativa Correta:
✅ O resultado do cálculo é (3a)/2, correspondendo à Alternativa D.

🔹 Análise das Alternativas Incorretas:
❌ As demais não correspondem à expressão derivada do triplo do volume com a nova altura.


Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

📌 Resumo do Raciocínio:

  • Volume original: a² × h
  • Volume novo: x² × (4h/3)
  • Impor que o novo volume seja triplo: x² × (4h/3) = 3 × (a² × h)
  • Resolvendo, obtemos x = (3a)/2.

📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
O valor de x em função de a é (3a)/2, confirmando a Alternativa D.

🔍 Resumo Final:
Para que a nova embalagem tenha volume triplo e altura (4/3)h, a aresta da base deve ser (3a)/2, garantindo o triplo da capacidade. A resposta correta é a Alternativa D.

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