Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior.
A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a
A) √2
B) 1/2
C) 2
D) 8
E) 16
✍ “Resolução Em Texto”
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
Geometria Plana (Círculos, Quadrados, Área e Razão).
Trigonometria (Relação entre Lado e Diagonal).
Tema/Objetivo Geral:
Comparar a área de dois círculos que têm uma relação geométrica fixa com um mesmo quadrado (um dentro e um fora), encontrando a razão numérica entre eles.
Nível da Questão
Médio.
Exige que o aluno saiba expressar o raio de um círculo em função do lado do quadrado e tenha facilidade com álgebra básica (simplificação de frações).
Gabarito
Letra C (2).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
Temos um sanduíche geométrico: Círculo Grande > Quadrado > Círculo Pequeno.
A questão quer saber quantas vezes o Círculo Grande é maior que o Pequeno.
Razão = Área do Grandão / Área do Pequeno.
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine uma pizza pequena que cabe exatamente dentro da caixa quadrada.
Agora imagine uma pizza gigante onde a caixa quadrada cabe exatamente dentro dela.
Quantas “pizzas pequenas” cabem dentro da “pizza gigante”?
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Definir a Régua: Vamos chamar o lado do quadrado de “L”. Tudo será medido em função de “L”.
- Raio Pequeno (r): Descobrir quanto vale o raio do círculo inscrito em função de L.
- Raio Grande (R): Descobrir quanto vale o raio do círculo circunscrito em função de L.
- Cálculo das Áreas: Usar a fórmula da área (Pi vezes raio ao quadrado).
- A Divisão Final: Dividir a Área Grande pela Pequena e ver o que sobra.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Ferramenta 1: Círculo Inscrito (O de dentro)
O diâmetro do círculo de dentro é igual à largura do quadrado.
Logo, o raio (r) é a metade do lado.
r = L / 2
Ferramenta 2: Círculo Circunscrito (O de fora)
O diâmetro do círculo de fora é a diagonal do quadrado (a linha que vai de um canto ao outro).
A diagonal de um quadrado vale L√2.
Logo, o raio (R) é a metade da diagonal.
R = (L√2) / 2
Ferramenta 3: Razão de Áreas (O Atalho Ninja)
Se dois objetos são semelhantes e a razão entre seus comprimentos (raios) é k, a razão entre suas áreas será k².
Isso pode poupar muito tempo de conta!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos calcular usando o método clássico para garantir.
1. Área do Círculo Menor (S1)
Raio (r) = L / 2.
Área = π . r²
S1 = π . (L / 2)²
S1 = π . L² / 4
2. Área do Círculo Maior (S2)
Raio (R) = (L√2) / 2.
Área = π . R²
S2 = π . [ (L√2) / 2 ]²
Elevando ao quadrado:
(L)² = L²
(√2)² = 2
(2)² = 4
S2 = π . (L² . 2) / 4
S2 = 2 . π . L² / 4
3. A Razão (A Divisão)
Razão = S2 / S1
Razão = (2 . π . L² / 4) ÷ (π . L² / 4)
Observe a mágica do cancelamento:
- Corta o π com π.
- Corta o L² com L².
- Corta o /4 com /4.
O que sobrou?
Sobrou apenas o número 2.
Resultado:
A área do círculo maior é o dobro da área do círculo menor.
MÉTODO NINJA (VIA RAZÃO DE SEMELHANÇA):
- Raio Pequeno = L/2
- Raio Grande = L√2 / 2
- Qual a relação entre eles?
O Raio Grande é exatamente √2 vezes o Raio Pequeno.
(Basta multiplicar L/2 por √2 para chegar no Raio Grande). - Se o raio aumentou √2 vezes, a área aumenta (√2)² vezes.
- (√2)² = 2.
Pronto. Resolvido em 10 segundos.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A alternativa A (√2) está lá para quem comparou os RAIOS, e não as ÁREAS.
A alternativa D (8) ou E (16) está lá para quem errou a fórmula da diagonal ou elevou ao quadrado duas vezes.
Lembre-se: Razão linear (raio) é diferente de Razão quadrática (área).
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O raio dobra de tamanho multiplicado por raiz de 2. A área dobra de tamanho multiplicada por 2.
- Expectativa: Procurar o número 2.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) √2.
Diagnóstico do Erro: Razão Linear.
O aluno calculou a razão entre os raios (ou diâmetros), esquecendo que a pergunta era sobre a área.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 1/2.
Diagnóstico do Erro: Inversão.
O aluno calculou a razão do Menor para o Maior (Pequeno / Grande), invertendo a pergunta.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 2.
Análise de Correspondência:
Correto. A área do círculo circunscrito é exatamente o dobro da área do inscrito.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
D) 8.
Diagnóstico do Erro: Erro Algébrico.
Provavelmente erro na elevação das frações ao quadrado (esqueceu de elevar o denominador 2 para 4, por exemplo, ou multiplicou fatores errados).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 16.
Diagnóstico do Erro: Delírio Potencial.
Talvez tenha elevado o 2 ao quadrado repetidas vezes ou considerado diâmetro como raio sem dividir.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
A resposta é a Alternativa C, pois a relação entre o raio circunscrito e o inscrito é de raiz de 2, o que implica uma relação de áreas igual ao quadrado disso, ou seja, 2.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
“Se o raio cresce raiz de dois, a área cresce dois. A potência corta a raiz.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Essa relação (Dobro da Área) é uma propriedade curiosa que pode ser visualizada girando o quadrado inscrito. Se você desenhar um quadrado inscrito dentro do círculo menor, a área desse “quadradinho” seria metade da área do quadrado ABCD original. A geometria é cheia dessas proporções de “metade e dobro” (Fator 2) e “raiz de 2”. Isso é a base para o design de ladrilhos e mosaicos (Tesselação).
