Na figura estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferências: C1 (de raio 3 e centro O1) e C2 (de raio 1 e centro O2 ), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q.
Nessas condições, a equação da reta t é
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Geometria Analítica no plano cartesiano: equação da reta tangente à duas circunferências
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Geometria Analítica: reta, ponto e coeficiente angular
- Trigonometria: tangente e ângulos suplementares
- Semelhança de triângulos
- Circunferência e tangência
🔢 Nível da Questão
🔸Difícil, pois envolve raciocínio espacial, semelhança de triângulos e trigonometria, além de manipulação algébrica cuidadosa.
✅ Gabarito
- Letra B
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave:
“…reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q. Nessas condições, a equação da reta t é…”
🎯 Objetivo:
Determinar a equação da reta tangente t que toca simultaneamente as duas circunferências nos pontos P e Q.
👉 O que ele quer saber?
Qual é a equação da reta tangente t que encosta em dois círculos dados no plano e passa pelos pontos P e Q (tangência dupla).
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔹 Equação da reta:
Para encontrar a equação da reta, precisamos de dois elementos:
- Um ponto que ela passa
- Seu coeficiente angular m
🔹 Ponto conhecido:
Se descobrirmos as coordenadas de R, onde a reta toca o eixo x, conseguimos aplicar a equação geral:
- y−y0=m(x−x0)
🔹 Semelhança de triângulos:
Triângulos com ângulos iguais têm lados proporcionais. Aqui, formamos dois triângulos:
- Um entre o centro da circunferência maior O1, ponto P e a tangente
- Outro entre o centro da menor O2, ponto Q e a tangente
🔹 Tangente de um ângulo no triângulo retângulo:
- tanθ= cateto oposto/cateto adjacente = m
🔹 Ângulos suplementares:
- tan(180∘−θ)=−tanθ
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📍 Dados da figura:
- Raio do círculo maior: 3 → OP=3OP = 3OP=3
- Raio do menor: 1 → OQ=1
- Centros alinhados sobre o eixo x
- O centro do círculo menor O2 está a distância 4 à direita do centro O1
🔹 Distância de O1 a R → vamos chamar de d+4
🔹 Distância de O2 a R → d
🔹 Queremos usar semelhança de triângulos para relacionar os lados verticais e horizontais.
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
🔹 Pela semelhança de triângulos:
Pelo triângulo O₁PR ∼ O₂QR, temos:
- OP / OR = OR/OR – 4 –> 3/1 = d+4/d
Multiplicação cruzada:
- 3d=d+4⇒2d=4⇒d=2
🔹 O ponto R está a 2 unidades à direita de O2, que está a 7 (já que O1=0 e O2=4), então:
- R=4+2=6⇒R=(9,0)
🔹 Agora usamos o triângulo retângulo △O2QR para descobrir o coeficiente angular da reta t:
Lados:
- Cateto oposto = 1 (raio)
- Cateto adjacente = √3 (pois:
- 2² = 1² + x²
- ⇒ 4 = 1 + x²
- ⇒ x² = 3 ⇒ x = √3)
tgθ = 1/√3 –> m = tg(180°- θ) = -1/√3 = -√3/3
Agora, com:
- Ponto R=(9,0)
- Coeficiente angular m=-√3/3
Aplicamos:
- y – 0 = -√3/3. (x – 9) –> y = = -√3/3x + √3/3
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
A) y = −√3x + 3√3 ❌
B) y = −√3 / 3x + 3√3 ✅
C) y = − x + 4 ❌
D) y = − 2 / 3x + 4 ❌
E) y = − 4 / 5x + 4 ❌
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
📌 Utilizamos a semelhança entre os triângulos formados pelos centros das circunferências e o ponto de tangência, juntamente com propriedades trigonométricas, para encontrar o coeficiente angular da reta tangente comum às duas circunferências.
📌 Após isso, substituímos na equação da reta com o ponto R para encontrar a equação exata da reta.
✅ Alternativa correta: Letra B
