O matemático americano Eduardo Kasner pediu ao filho que desse um nome a um número muito grande, que consistia do algarismo 1 seguido de 100 zeros. Seu filho batizou o número de gugol. Mais tarde, o mesmo matemático criou um número que apelidou de gugolplex, que consistia em 10 elevado a um gugol.
Quantos algarismos tem um gugolplex?
A) 100
B) 101
C) 10100
D) 10100 + 1
E) 101 000 + 1
Resolução em vídeo
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Propriedades de Potenciação
- Raciocínio Lógico
- Notação Científica
Tema/Objetivo Geral: Relação entre Potências de Base 10 e Número de Algarismos.
Nível da Questão: Médio – A questão não envolve cálculos complexos, mas sim uma compreensão conceitual sólida. O nível é médio porque exige a abstração para lidar com números extremamente grandes e a distinção cuidadosa entre o valor de um número (ex: 10^100) e o número de algarismos que ele possui (101). A principal dificuldade é não se confundir com os termos.
Gabarito: D) 10¹⁰⁰ + 1. A alternativa está correta porque um número da forma 10^n possui n+1 algarismos. Como o gugolplex é 10^(gugol), ele possui (gugol + 1) algarismos, ou seja, (10¹⁰⁰ + 1) algarismos.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Quantos algarismos tem um gugolplex?”
O que está sendo pedido?
O exercício quer que a gente determine a quantidade total de dígitos que compõem o número chamado “gugolplex”.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é primeiro traduzir “gugol” e “gugolplex” para a linguagem matemática (potências de 10) e depois aplicar uma regra simples para contar os algarismos de uma potência de 10.
Pergunta de Atenção
Você se lembra da diferença fundamental entre o valor do expoente de uma potência de 10 e a quantidade de algarismos que esse número tem? Essa é a chave de tudo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver essa questão, precisamos definir claramente os termos e entender uma propriedade básica das potências de 10.
- Gugol:
- Definição: O número 1 seguido de 100 zeros.
- Representação Matemática: Como temos 100 zeros após o dígito 1, isso é o mesmo que 10 multiplicado por si mesmo 100 vezes. Portanto, Gugol = 10¹⁰⁰.
- Gugolplex:
- Definição: O número 10 elevado a um gugol.
- Representação Matemática: Usando a definição de gugol, temos: Gugolplex = 10^(gugol) = 10^(10¹⁰⁰).
- Regra do Número de Algarismos para Potências de 10:
Vamos observar um padrão:- 10¹ = 10 (tem 2 algarismos: o ‘1’ e um zero). Note que 2 = 1 + 1.
- 10² = 100 (tem 3 algarismos: o ‘1’ e dois zeros). Note que 3 = 2 + 1.
- 10³ = 1000 (tem 4 algarismos: o ‘1’ e três zeros). Note que 4 = 3 + 1.
- A regra geral é: Um número escrito como 10ⁿ sempre terá n + 1 algarismos.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
O problema é um quebra-cabeça de definições. Primeiro, a gente define a peça “gugol”. Depois, usamos essa peça para definir uma peça ainda maior, a “gugolplex”. No final, tudo o que precisamos fazer é usar nossa régua mágica (a regra do n+1) para medir o tamanho da peça “gugolplex” em número de dígitos.
Estratégia Geral
O plano é simples e direto:
- Escrever o gugolplex na forma 10ⁿ.
- Identificar quem é o “n” (o expoente) nessa expressão.
- Aplicar a regra: o número de algarismos será n + 1.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
Etapa 1: Escrever o gugolplex como uma potência de 10
Conforme nossa definição no Passo 2:
Gugolplex = 10^(10¹⁰⁰)
Etapa 2: Aplicar a regra do número de algarismos
Nossa regra diz que um número na forma 10ⁿ tem n + 1 algarismos.
Vamos comparar Gugolplex = 10^(10¹⁰⁰) com a forma geral 10ⁿ.
Fica claro que o expoente n do nosso problema é o próprio gugol, ou seja:
n = 10¹⁰⁰
Etapa 3: Calcular o número de algarismos
Agora, basta aplicar a fórmula n + 1:
Número de algarismos do Gugolplex = n + 1
Substituindo n pelo seu valor:
Número de algarismos do Gugolplex = (10¹⁰⁰) + 1
Verificação Intermediária
Chegamos a uma expressão final para a quantidade de algarismos: 10¹⁰⁰ + 1. Este é um número, e não uma nova potência. Ele representa o total de dígitos do gugolplex.
Possível armadilha
A maior armadilha aqui é confundir os conceitos. Você poderia pensar que a resposta é 101. Por quê? Porque um gugol (10¹⁰⁰) tem 100 zeros mais o algarismo 1, totalizando 101 algarismos. Muitas pessoas calculam o número de algarismos do gugol e marcam a alternativa B, esquecendo que a pergunta é sobre o gugolplex.
Fechamento e expectativa
O raciocínio lógico, baseado na regra n+1, nos levou diretamente à expressão 10¹⁰⁰ + 1. Agora, vamos verificar se essa expressão está presente nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 100
B) 101
C) 10¹⁰⁰
D) 10¹⁰⁰ + 1
E) 10¹⁰⁰⁰ + 1
Justificativa Individual
- A) 100 🔴 Incorreta. Este é o número de zeros em um gugol, não o número de algarismos em um gugolplex.
- B) 101 🔴 Incorreta. Este é o número de algarismos em um gugol (10¹⁰⁰), não em um gugolplex. É a principal armadilha da questão.
- C) 10¹⁰⁰ 🔴 Incorreta. Este é o valor do gugol, que serve como expoente na fórmula do gugolplex. Não é a quantidade de algarismos.
- D) 10¹⁰⁰ + 1 🟢 Correta. Conforme nosso cálculo, o número de algarismos é (expoente) + 1, que é (gugol) + 1, ou seja, 10¹⁰⁰ + 1.
- E) 10¹⁰⁰⁰ + 1 🔴 Incorreta. O expoente aqui é 1000, e não 100. É um erro de leitura do valor do gugol.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido traduzindo gugolplex para 10^(10¹⁰⁰). Em seguida, aplicamos a regra geral de que um número 10ⁿ possui n+1 algarismos, onde n no nosso caso é o próprio gugol (10¹⁰⁰), resultando em 10¹⁰⁰ + 1 algarismos.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D) 10¹⁰⁰ + 1.
Resumo Final para Revisão
Para qualquer potência de base 10, o número de algarismos é sempre o expoente mais um. A chave em problemas como este é identificar corretamente quem é o expoente e não se confundir com os valores intermediários.
