Em um colégio público, a admissão no primeiro ano se dá por sorteio. Neste ano há 55 candidatos, cujas inscrições são numeradas de 01 a 55. O sorteio de cada número de inscrição será realizado em etapas, utilizando-se duas urnas. Da primeira urna será sorteada uma bola, dentre bolas numeradas de 0 a 9, que representará o algarismo das unidades do número de inscrição a ser sorteado e, em seguida, da segunda urna, será sorteada uma bola para representar o algarismo das dezenas desse número. Depois do primeiro sorteio, e antes de se sortear o algarismo das dezenas, as bolas que estarão presentes na segunda urna serão apenas aquelas cujos números formam, com o algarismo já sorteado, um número de 01 a 55.
As probabilidades de os candidatos de inscrição número 50 e 02 serem sorteados são, respectivamente,
a) 1/50 e 1/60
b) 1/50 e 1/50
c) 1/50 e 1/10
d) 1/55 e 1/54
e) 1/100 e 1/100
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Probabilidade de Eventos Sucessivos/Condicional).
- Lógica (Análise de Espaço Amostral Variável).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a probabilidade de eventos compostos onde o segundo evento depende do resultado do primeiro (Probabilidade Condicional). O aluno deve perceber que o tamanho do espaço amostral da segunda urna muda conforme o algarismo sorteado na primeira.
Nível da Questão:
Difícil.
Justificativa: A intuição diz que num sorteio justo a chance seria 1/55 para todos. Porém, o método escolhido (unidade depois dezena) altera as probabilidades. O aluno precisa montar os conjuntos de possibilidades para cada caso separadamente, o que exige abstração e organização.
Gabarito:
Letra A – 1/50 e 1/60.
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
Precisamos calcular a chance de dois números específicos serem sorteados:
- O Número 50.
- O Número 02.
O sorteio tem uma regra estranha: Primeiro sorteia o final (unidade), depois sorteia o começo (dezena), mas a dezena só pode ser sorteada se formar um número válido (entre 01 e 55).
A Analogia Central (O Lego Invertido):
Imagine que vamos montar um boneco.
-
Passo 1:
Sorteamos os sapatos (Unidade). Pode sair qualquer um de 0 a 9.
-
Passo 2:
Sorteamos o chapéu (Dezena).
- Se o sapato for vermelho, só existem 5 chapéus que combinam.
- Se o sapato for azul, existem 6 chapéus que combinam.
A quantidade de chapéus disponíveis muda dependendo do sapato. Por isso, a chance final muda.
Nosso Plano de Ataque:
- Calcular a chance de sair a unidade do número 50.
- Calcular a chance de sair a dezena do 50 (dado que a unidade já saiu).
- Multiplicar as duas.
- Repetir o processo para o número 02.
2️⃣PASSO – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Regra do Sorteio:
- Urna 1 (Unidades): Bolas de 0 a 9. Total = 10 opções. (Sempre).
- Urna 2 (Dezenas): Depende da Unidade. Só entram bolas que formam números de 01 a 55.
Fórmula da Probabilidade Sucessiva:
P(Total) = P(Etapa 1) x P(Etapa 2)
3️⃣ PASSO- INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
CASO 1: Candidato 50
Para formar “50”, precisamos tirar Unidade = 0 e Dezena = 5.
- Etapa 1 (Unidade 0):
Na urna 1 temos 10 bolas (0 a 9). A chance de sair o zero é 1/10. - Etapa 2 (Dezena 5):
A unidade sorteada foi 0. Agora olhamos para a Urna 2. Quais dezenas formam números válidos (01 a 55) terminados em 0?- 10, 20, 30, 40, 50. (O “00” não vale pois começa em 01).
- Existem 5 opções de dezenas possíveis (1, 2, 3, 4, 5).
- Queremos a dezena “5”. A chance é 1/5.
- Probabilidade Final (50):
P(50) = (1/10) x (1/5) = 1/50.
CASO 2: Candidato 02
Para formar “02”, precisamos tirar Unidade = 2 e Dezena = 0.
- Etapa 1 (Unidade 2):
Na urna 1 temos 10 bolas. A chance de sair o dois é 1/10. - Etapa 2 (Dezena 0):
A unidade sorteada foi 2. Quais dezenas formam números válidos (01 a 55) terminados em 2?- 02, 12, 22, 32, 42, 52. (Todos estão dentro do limite 55).
- Existem 6 opções de dezenas possíveis (0, 1, 2, 3, 4, 5).
- Queremos a dezena “0”. A chance é 1/6.
- Probabilidade Final (02):
P(02) = (1/10) x (1/6) = 1/60.
ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com a Intuição de Igualdade (Letra D)!
Muitos alunos pensam: “São 55 candidatos, então a chance de qualquer um é 1/55”.
Isso só seria verdade se colocássemos 55 papéis num saco e tirássemos um.
O método de “construir o número” dígito por dígito cria distorções.
- Números terminados em 0, 1, 2, 3, 4, 5 têm 6 opções de dezenas (0 a 5). (Chance 1/60).
- Números terminados em 6, 7, 8, 9 têm 5 opções de dezenas (0 a 4, pois 56, 57… estouram o limite). (Chance 1/50).
A questão pediu o 50 (termina em 0, mas o 00 não conta, então cai no grupo de 5 opções) e o 02 (termina em 2, grupo de 6 opções).
Correção Fina sobre o 50: O número 50 termina em 0. Os números terminados em 0 válidos são 10, 20, 30, 40, 50. (São 5 opções). Por isso 1/50.
Correção Fina sobre o 02: O número 02 termina em 2. Os números terminados em 2 válidos são 02, 12, 22, 32, 42, 52. (São 6 opções). Por isso 1/60.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio:
- 50 -> 1/10 x 1/5 = 1/50.
- 02 -> 1/10 x 1/6 = 1/60.
- Expectativa: O par (1/50, 1/60).
4️⃣ PASSO- ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) 1/50 e 1/60
- Análise: Perfeito. O cálculo detalhado dos espaços amostrais condicionais (5 opções para quem termina em 0 excluindo o 00; 6 opções para quem termina em 2) confirma esses valores.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
b) 1/50 e 1/50
- Diagnóstico do Erro: Generalização errada.
- Análise: O aluno pode ter achado que todos os números têm 5 opções de dezena (esquecendo que o 02, 12… vão até o 52, criando uma sexta opção).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) 1/50 e 1/10
- Diagnóstico do Erro: Erro na segunda etapa.
- Análise: Achar que a segunda probabilidade é 1/10 implica que existem 10 dezenas possíveis para o final 2 (02 a 92), o que estoura o limite de 55 alunos.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) 1/55 e 1/54
- Diagnóstico do Erro: A falácia do sorteio justo.
- Análise: 1/55 é a probabilidade num sorteio simples e direto. O método das urnas separadas distorce isso. 1/54 seria um sorteio sem reposição, o que não tem nada a ver com o problema.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) 1/100 e 1/100
- Diagnóstico do Erro: Ignorou a restrição.
- Análise: Isso aconteceria se a Urna 2 tivesse sempre bolas de 0 a 9 (10 x 10 = 100 combinações), ignorando que só existem 55 alunos e que as bolas inválidas são retiradas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Nem todo sorteio é justo. A mecânica do sorteio define a probabilidade. Se você for participar de um sorteio assim, torça para ter um número terminado em 6, 7, 8 ou 9, pois eles têm mais chance (1/50) do que os terminados em 1, 2, 3, 4, 5 (1/60).
Resumo-flash:
“Para o 50, existem 5 dezenas (1/50). Para o 02, existem 6 dezenas (1/60). A unidade manda na dezena.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso é um exemplo de Probabilidade Condicional. O espaço amostral da segunda etapa (Urna 2) depende do que aconteceu na primeira etapa. Em computação, algoritmos de geração de números aleatórios precisam ser muito bem desenhados para não privilegiarem certos números, como aconteceu aqui.
