Questão 169, caderno azul do ENEM 2023 – DIA 2

O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo L0
a intensidade na sua superfície.

Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema.

A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão

Matemática (Sequências e Padrões Numéricos).
Progressão Geométrica (PG).
Potenciação.

Tema/Objetivo Geral:
Identificar o padrão de decaimento de uma grandeza (intensidade luminosa) e aplicar esse padrão sucessivamente para encontrar o valor em uma etapa futura.

Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O padrão é visível (multiplicação por 2/3), mas exige que o aluno calcule potências de frações até o expoente 6 (2 elevado a 6 e 3 elevado a 6). Erros de aritmética básica na multiplicação são os maiores riscos aqui.

Gabarito:
Letra D – 64/729 L0.

Resolução Passo a Passo

1️⃣ PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

A Missão:
O esquema mostra que a luz diminui conforme a profundidade aumenta.
Temos os valores para 0m, 1m, 2m e 3m.
A pergunta é: Qual será a intensidade aos 6 metros?

A Analogia Central (O Pedágio da Água):
Imagine que a luz é um viajante rico. A cada metro que ele nada para baixo, a água cobra um “imposto”.
O viajante só consegue passar com 2/3 do dinheiro que tinha no metro anterior.

No metro 1, ele tem 2/3 do inicial.
No metro 2, ele tem 2/3 do que tinha no metro 1.
A questão quer saber quanto dinheiro sobra no bolso dele depois de passar por 6 pedágios.

Nosso Plano de Ataque:

Identificar a Razão da sequência (por quanto multiplicamos a cada passo?).
Aplicar essa razão sucessivamente até chegar ao nível 6.

2️⃣ PASSO- DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Vamos analisar os números dados para achar a Razão:

0 m: L0
1 m: 2/3 de L0
2 m: 4/9 de L0 (Note que 4 é 2×2 e 9 é 3×3)
3 m: 8/27 de L0 (Note que 8 é 2x2x2 e 27 é 3x3x3)

Conclusão:
A cada metro, multiplicamos o valor anterior pela fração 2/3.
Isso é uma Progressão Geométrica onde a cada passo elevamos a fração a uma potência maior.

3️⃣ PASSO – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos continuar a sequência a partir de onde o desenho parou (3 metros).

Nível 3 m (Dado):
Luz = 8/27 L0

Nível 4 m:
Multiplicamos o anterior por 2/3.
Numerador: 8 vezes 2 = 16
Denominador: 27 vezes 3 = 81
Luz = 16/81 L0

Nível 5 m:
Multiplicamos novamente por 2/3.
Numerador: 16 vezes 2 = 32
Denominador: 81 vezes 3 = 243
Luz = 32/243 L0

Nível 6 m (O Alvo):
Multiplicamos mais uma vez por 2/3.
Numerador: 32 vezes 2 = 64.
Denominador: 243 vezes 3 = 729.
Luz = 64/729 L0

ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com a preguiça na conta de multiplicar!
O passo final (243 vezes 3) é onde o erro acontece.
Muitos alunos tentam chutar.
Faça a conta no canto do papel:
200 x 3 = 600.
40 x 3 = 120.
3 x 3 = 9.
600 + 120 + 9 = 729.
Não confie apenas na memória para potências altas de 3.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: A cada metro, eleva-se a fração 2/3 a uma potência maior. Para 6 metros, é (2/3) elevado a 6.
Expectativa: Fração com 64 em cima e 729 embaixo.

4️⃣ PASSO – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

a) 1/9 L0

Diagnóstico do Erro: Padrão errado.
Análise: O aluno pode ter achado que o denominador multiplicava por 3 mas o numerador ficava constante ou seguia outra lógica.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

b) 16/27 L0

Diagnóstico do Erro: Parou no caminho ou misturou.
Análise: O denominador 27 é do nível 3m. O numerador 16 é do nível 4m. Mistura de etapas.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

c) 32/243 L0

Diagnóstico do Erro: Parou antes da hora.
Análise: Esse é o valor exato para a profundidade de 5 metros. O aluno calculou certo, mas esqueceu de fazer mais uma multiplicação para chegar aos 6 metros.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

d) 64/729 L0

Análise: Perfeito. Representa (2/3) elevado a 6.
- 2 elevado a 6 = 64.
- 3 elevado a 6 = 729.
Conclusão: 🟢 Alternativa correta.

e) 128/2187 L0

Diagnóstico do Erro: Passou do ponto.
Análise: Esse seria o valor para a profundidade de 7 metros. O aluno se empolgou e multiplicou uma vez a mais.
Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO- O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

A luz na água sofre um decaimento exponencial. Ela nunca chega a zero absoluto matematicamente, mas fica tão fraca que vira escuridão total.

Resumo-flash: ⚡
“Dois terços vezes dois terços… seis vezes seguidas. Potência de 2 em cima, potência de 3 embaixo.”

Para ir Além (A Ponte para o Futuro): 🧠
Na física, isso é a Lei de Beer-Lambert. A intensidade da luz cai exponencialmente conforme atravessa um meio que absorve luz. Em vez de 2/3, usamos o número de Euler (e) e um coeficiente de absorção. É assim que calculamos a concentração de substâncias químicas em exames de sangue (espectrofotometria)!