A cada bimestre, a diretora de uma escola compra uma quantidade de folhas de papel ofício proporcional ao número de alunos matriculados. No bimestre passado, ela comprou 6 000 folhas para serem utilizadas pelos 1 200 alunos matriculados. Neste bimestre, alguns alunos cancelaram suas matrículas e a escola tem, agora, 1 150 alunos. A diretora só pode gastar R$ 220,00 nessa compra, e sabe que o fornecedor da escola vende as folhas de papel ofício em embalagens de 100 unidades a R$ 4,00 a embalagem. Assim, será preciso convencer o fornecedor a dar um desconto à escola, de modo que seja possível comprar a quantidade total de papel ofício necessária para o bimestre.
O desconto necessário no preço final da compra, em porcentagem, pertence ao intervalo
a) (5,0 ; 5,5).
b) (8,0 ; 8,5).
c) (11,5 ; 12,5).
d) (19,5 ; 20,5).
e) (3,5 ; 4,0).
Resolução em vídeo
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática Financeira (Porcentagem e Desconto).
- Aritmética (Razão, Proporção e Arredondamento).
Tema/Objetivo Geral:
Calcular a taxa percentual de um desconto necessário para adequar um custo total a um teto orçamentário, considerando que o produto é vendido em unidades discretas (pacotes inteiros).
Nível da Questão:
Médio.
Justificativa: O cálculo envolve várias etapas: descobrir a razão aluno/papel, calcular a nova demanda, converter em pacotes (com arredondamento obrigatório para cima) e, finalmente, calcular a porcentagem do desconto sobre o total. O arredondamento de 57,5 para 58 pacotes é a pegadinha principal.
Gabarito:
Letra A – (5,0 ; 5,5).
Resolução Passo a Passo
1️⃣ PASSO – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
A Missão:
A diretora tem R$ 220,00 (Teto).
Ela precisa comprar papel suficiente para 1.150 alunos.
O preço de tabela vai estourar o orçamento.
A pergunta é: Qual a porcentagem de desconto ela precisa conseguir para o preço cair e caber nos 220 reais?
A Analogia Central (O Teto Baixo):
Imagine que você vai passar por uma porta que tem 2,20 metros de altura (Orçamento).
Você está carregando uma escada em pé que tem 2,32 metros (Preço Real).
Para passar, você precisa cortar um pedaço da escada.
A questão quer saber: O pedaço cortado representa quantos por cento do tamanho original da escada?
Nosso Plano de Ataque:
- Descobrir quantas folhas cada aluno gasta (a média).
- Calcular o total de folhas para os alunos atuais.
- Converter folhas em pacotes (arredondando para cima, pois não vendem meio pacote).
- Calcular o preço cheio.
- Calcular a diferença (o desconto) e transformar em %.
2️⃣ PASSO- DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Vamos organizar os dados:
A Proporção:
- Antes: 6.000 folhas para 1.200 alunos.
- Conta: 6.000 / 1.200 = 5 folhas por aluno.
A Nova Realidade:
- Alunos agora: 1.150.
- Preço do pacote (100 folhas): R$ 4,00.
- Orçamento Máximo: R$ 220,00.
Fórmula do Desconto Percentual:
% Desconto = (Valor do Desconto / Valor Original) x 100
3️⃣ PASSO – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos às contas, passo a passo.
Etapa A: A Demanda de Papel
Se cada aluno usa 5 folhas e temos 1.150 alunos:
Total de folhas = 1.150 x 5 = 5.750 folhas.
Etapa B: A Compra (Quantos pacotes?)
O fornecedor vende pacotes de 100.
Pacotes teóricos = 5.750 / 100 = 57,5 pacotes.
🛑 Ponto Crítico de Decisão:
Você consegue chegar na papelaria e pedir “me vê 57 pacotes e meio”? Não.
Se você comprar 57, faltam folhas.
Para ter a “quantidade total necessária” (como diz o texto), a diretora é obrigada a comprar 58 pacotes. (Sempre arredonda para cima).
Etapa C: O Preço Cheio (Sem choro)
58 pacotes x R4,00=∗∗R4,00=∗∗R232,00**.
Etapa D: O Cálculo do Desconto
- Preço Real: R$ 232,00.
- Preço que ela pode pagar: R$ 220,00.
- Tamanho do Desconto (em Reais): 232 – 220 = R$ 12,00.
Agora, vamos ver quanto esses 12 reais representam em porcentagem do total (232).
Conta: 12 dividido por 232.
12 / 232 ≈ 0,0517.
Multiplicando por 100 para virar %:
5,17%.
Esse valor (5,17%) está dentro de qual intervalo?
Está entre 5,0 e 5,5.
ALERTA DE DETETIVE! 🚨
CUIDADO com a “Matemática Pura” sem Lógica Real!
Se você não arredondar os pacotes e usar 57,5 na conta:
- Custo: 57,5 x 4 = R$ 230,00.
- Desconto: 230 – 220 = 10.
- %: 10 / 230 = 4,34%.
Isso levaria à alternativa E. Mas está errado! No mundo real (e na interpretação de problemas de otimização inteira), não se fraciona embalagem fechada a menos que o texto permita. A “pegadinha” é justamente essa.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O custo real é 232. O limite é 220. O desconto é 12 reais. 12 reais é um pouco mais de 5% de 232.
- Expectativa: Intervalo (5,0 ; 5,5).
4️⃣PASSO – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) (5,0 ; 5,5).
- Análise: Perfeito. O desconto exato é de aproximadamente 5,17%. Esse número está contido no intervalo entre 5 e 5,5.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
b) (8,0 ; 8,5).
- Diagnóstico do Erro: Erro de cálculo.
- Análise: Valor muito alto. Talvez o aluno tenha calculado o desconto sobre o valor final (12/220 = 5,45%), mas mesmo assim daria na letra A. Para dar 8%, o desconto teria que ser de quase 20 reais.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
c) (11,5 ; 12,5).
- Diagnóstico do Erro: Confusão Valor x Porcentagem.
- Análise: O valor do desconto em reais é R$ 12,00. O aluno pode ter achado que a resposta era o valor monetário e marcado o intervalo que contém o 12. Mas a pergunta pede “em porcentagem”.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
d) (19,5 ; 20,5).
- Diagnóstico do Erro: Erro grosseiro.
- Análise: Não há combinação lógica óbvia dos dados que leve a 20%.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
e) (3,5 ; 4,0).
- Diagnóstico do Erro: O erro do arredondamento (ou cálculo aproximado).
- Análise: Como vimos no alerta, se o aluno usar 57,5 pacotes, chega em 4,34% (o que cairia num intervalo “4,0 a 4,5”, que nem tem aqui, mas é próximo). Se ele fizer alguma outra aproximação para baixo, poderia cair aqui.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Em problemas de compras, a embalagem manda. Você não compra 1,5 latas de tinta, você compra 2. O arredondamento é para cima, e isso muda o preço final.
Resumo-flash:
“Não vendem pacote aberto: arredonde para 58, ache o preço cheio e negocie os 5,17% de desconto.”
Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Isso é o dia a dia de Compras e Licitações. Em empresas ou no governo, o comprador precisa calcular a quantidade exata de caixas (arredondando para cima) e, se o orçamento estourar, ele precisa saber exatamente qual a margem de desconto (“markdown”) necessária para fechar o negócio.
