Questão 168, caderno azul do ENEM 2019 – DIA 2

Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1000,00 por semana.

Os outros funcionários são diaristas. Cada um trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado.

Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por

A) Y = 80X + 920.

B) Y = 80X + 1000.

C) Y = 80X + 1080.

D) Y = 160X + 840.

E) Y = 160X + 1000.

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:

Álgebra: Funções do 1º grau (Modelagem matemática).
Aritmética Básica: Operações fundamentais e propriedade distributiva.

Tema/Objetivo Geral:

Construir uma expressão algébrica (fórmula) que represente o custo total de uma empresa, diferenciando custos fixos (gerente) e variáveis (diaristas), onde a quantidade variável depende do total de funcionários.

Nível da Questão: Fácil.

Justificativa: A questão fornece todos os valores numéricos de forma clara. O único desafio lógico (o “pulo do gato”) é perceber que o número de diaristas não é X, mas sim X – 1, pois o gerente faz parte do total de funcionários. A matemática envolvida é simples (multiplicação e soma).

Gabarito: D.

Resumo: O custo total (Y) é a soma do salário do gerente R$ 1000, com o dos diaristas. Cada diarista ganha R$160 por semana (80 x 2). Como existem X – 1 diaristas, a fórmula é Y = 1000 + 160(X – 1), que simplifica para Y = 160X + 840.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo:
A questão pede para criarmos uma “máquina de calcular” (uma fórmula matemática) que nos diga quanto a empresa gasta por semana (Y) baseada apenas no número total de pessoas que trabalham lá (X).

Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine um time de futebol onde o técnico ganha um salário fixo alto, e os jogadores ganham por jogo.

Técnico (Gerente): Ganha R$ 1000,00 fixos.

Jogadores (Diaristas): Ganham R$ 160,00 por semana.

Se o time tem X pessoas no total, quantos jogadores existem? Todos menos o técnico (X – 1).

A conta final é: Salário do Técnico + (Salário dos Jogadores x Quantidade de Jogadores).

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):

Calcular quanto cada diarista custa por semana.
Definir a quantidade exata de diaristas em função de X.
Montar a equação somando o custo do gerente e o custo total dos diaristas.
Simplificar a expressão matemática para encontrar a alternativa correta.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Ferramenta 1: Custo Semanal do Diarista

Valor por dia: R$ 80,00.
Dias trabalhados: 2.
Total Semanal: 80 x 2 = R$ 160,00.

Ferramenta 2: A Variável X

X = Total de funcionários (Gerente + Diaristas).
Se temos 1 Gerente, então:
- Número de Diaristas = X – 1.

Ferramenta 3: Propriedade Distributiva

Para multiplicar um número por um parênteses: a(b – c) = ab – ac.
Exemplo: 160(X – 1) = 160X – 160.

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Vamos montar a equação passo a passo:

1. O Custo Fixo (O Chefe):
O gerente custa R$ 1000,00. Esse valor não depende do número de diaristas (desde que exista a empresa).

2. O Custo Variável (A Equipe):
Cada diarista custa R$ 160,00.
Quantos são? O total (X) menos o gerente. Ou seja, (X – 1).
Custo da Equipe = 160 * (X – 1).

3. A Soma Total (Y):
Y = Custo Gerente + Custo Equipe
Y = 1000 + 160 * (X – 1)

Agora, precisamos “arrumar” a equação para bater com as alternativas:

Aplique a distributiva:
Y = 1000 + 160X – 160
Junte os números (1000 e -160):
Y = 160X + (1000 – 160)
Y = 160X + 840

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum é esquecer de tirar o gerente da contagem de diaristas.
Muitos alunos pensam: “Ah, tem X funcionários e cada um ganha 160, mais o gerente que ganha 1000″.
Isso daria Y = 160X + 1000 (Alternativa E).
Por que está errado? Porque se X for o total, você estaria pagando o gerente duas vezes: os R$100 dele mais os R$160 como se ele fosse um diarista também! O gerente já está contado no X, então temos que excluí-lo da conta dos 160.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Y = 160X + 840.
Expectativa: Alternativa D.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) Y = 80X + 920.
- O Diagnóstico do Erro: Erro de Valor Unitário.
- Por que está incorreta: O aluno usou o valor diário (R80) em vez do semanal (R 160). A empresa paga por semana.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) Y = 80X + 1000.
- O Diagnóstico do Erro: Erro Duplo.
- Por que está incorreta: Usou o valor diário (80) E esqueceu de subtrair o gerente (não fez o X – 1).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) Y = 80X + 1080.
- O Diagnóstico do Erro: Confusão Matemática.
- Por que está incorreta: Usou 80 e parece ter somado o valor diário ao salário do gerente (1000 + 80). Sem lógica funcional.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) Y = 160X + 840.
- Análise de Correspondência: Perfeito. O termo 160X projeta o custo se todos fossem diaristas, e o termo +840 é o ajuste (diferença entre o salário do gerente e de um diarista: 1000 – 160 = 840). Matematicamente impecável.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) Y = 160X + 1000.
- O Diagnóstico do Erro: O Esquecimento do Líder.
- Por que está incorreta: O aluno calculou como se existissem X diaristas além do gerente. Mas X é o total de pessoas. Essa fórmula paga o gerente duas vezes.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento:
A modelagem de custos exige precisão na definição de quem é quem: ao separarmos o gerente do restante do grupo (X – 1), ajustamos a equação para refletir a realidade da folha de pagamento, resultando na função Y = 160X + 840 (Alternativa D).

Resumo-flash (A Imagem Mental):
💰 Diarista: 160/semana.
👔 Gerente: 1000/semana.
🧮 Equação: 1000 + 160(Tudo – 1).

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):

Conexão com a Sua Carteira (O Principio da Franquia):
Essa logica do “X menos 1” e a mesma usada em Estacionamentos de Shopping ou Planos de Celular.
Imagine um estacionamento que cobra 20 reais pela primeira hora (fixo) e 5 reais pelas demais horas (variavel).
Se voce ficar la por um total de X horas:

Voce paga os 20 reais da primeira.
Quantas horas sobraram para pagar a tarifa menor? Todas, menos a primeira (X – 1).
A conta final seria: 20 + 5(X – 1).
Entender isso te ajuda a conferir se a conta do estacionamento, do taxi ou da internet (que te da o primeiro giga “gratis”) esta certa ou errada!