Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:
• Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;
• Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;
• Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;
• Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;
• Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.
A mesa que atende aos critérios especificados é a
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
Resolução em texto
Vamos resolver essa questão com o padrão completo de 6 passos, explorando geometria plana, interpretação de espaço por pessoa e cálculo de área mínima, garantindo clareza e precisão na escolha da melhor mesa.
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (área de polígonos), Análise de Condições Geométricas, Interpretação Espacial.
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
E) V
🎯 Tema/Objetivo Geral:
Escolher a mesa com a menor área possível que acomode 6 pessoas com pelo menos 60 cm cada de espaço ao longo da borda da mesa.
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
“A mesa que atende aos critérios especificados é a…”
📌 Explicação Detalhada:
Queremos acomodar 6 pessoas, cada uma com no mínimo 60 cm de borda, usando a menor área possível.
📌 Palavras-chave:
6 pessoas, 60 cm por pessoa, menor área, forma da mesa.
📌 Objetivo:
Verificar quais mesas oferecem 6 lados com pelo menos 60 cm ou bordas suficientes e escolher a que apresenta menor área compatível.
⚠️ Dica Geral: O total de borda necessário é 6 × 60 = 360 cm. A forma da mesa define se esse espaço pode ser distribuído de maneira prática.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 1. Comprimento total mínimo da borda (perímetro):
- 6 pessoas × 60 cm = 360 cm
📌 2. Verificação de formatos:
- Hexágono regular: 6 lados → 1 pessoa por lado
- Triângulo equilátero: 3 lados → 2 pessoas por lado (se o lado for ≥ 120 cm)
- Retângulo: 4 lados → deve permitir distribuição proporcional
- Quadrado de 60 cm: 4 lados de 60 cm → 240 cm de borda → não serve
📌 3. Fórmulas de área:
- Hexágono regular: A = (3√3 × L²)/2
- Retângulo: A = base × altura
- Quadrado: A = lado²
- Triângulo equilátero: A = (L²√3)/4
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Opções de mesas:
- I: Hexágono regular, lado = 60 cm → 6 × 60 = 360 cm ✅
- II: Retângulo 130 × 60 → perímetro = 2×(130+60) = 380 cm ✅
- III: Retângulo 120 × 60 → perímetro = 2×(120+60) = 360 cm ✅
- IV: Quadrado 60 × 60 → perímetro = 240 cm ❌
- V: Triângulo equilátero 120 cm → 3 lados de 120 = 360 cm ✅
⚠️ As mesas I, II, III e V atendem ao critério de borda mínima, mas precisamos escolher a de menor área.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 Mesa I – Hexágono regular, lado = 60 cm
Área = (6 × L² × √3)/4
= (6 × 3600 × √3)/4 = 5400√3
Aproximando √3 ≈ 1,7
→ 5400 × 1,7 = 9180 cm²
📌 Mesa II – Retângulo 130 × 60
Área = 130 × 60 = 7800 cm²
📌 Mesa III – Retângulo 120 × 60
Área = 120 × 60 = 7200 cm²
📌 Mesa V – Triângulo equilátero, lado = 120 cm
Área = (L² × √3)/4 = (14400 × √3)/4 = 3600 × √3 ≈ 3600 × 1,7 = 6120 cm²
📌 Mesa IV – Quadrado 60 × 60
Área = 3600 cm², mas só tem 240 cm de borda ❌
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) I → Área: 9180 ❌
📌 B) II → Área: 7800 ❌
📌 C) III → Área: 7200 ❌
📌 D) IV → Área: 3600 ❌ (insuficiente em perímetro)
📌 E) V → Área: 6120 ✅ Menor possível com 360 cm de borda
✅ Alternativa correta: E
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
A mesa precisa ter no mínimo 360 cm de borda para acomodar 6 pessoas com 60 cm cada. Das mesas que atendem a esse critério, a de menor área é a V, um triângulo equilátero de 120 cm de lado, com área aproximada de 6120 cm².
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa E – Mesa V
🔍 Resumo Final:
O foco da questão está em garantir perímetro mínimo para 6 pessoas e minimizar a área. A análise cuidadosa das formas e cálculo de área permitiram encontrar a melhor mesa de forma econômica.
