Um casal e seus dois filhos saíram, com um corretor de imóveis, com a intenção de comprar um lote onde futuramente construiriam sua residência. No projeto da casa, que esta família tem em mente, irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m² . Após algumas avaliações, ficaram de decidir entre os lotes 1 e 2 da figura, em forma de paralelogramos, cujos preços são R$ 100 000,00 e R$ 150 000,00, respectivamente.
Use √3/2 , 1/2 e 1,7 como aproximações, respectivamente, para sen(60°), cos(60°) e √3 .
Para colaborarem na decisão, os envolvidos fizeram as seguintes argumentações:
Pai: Devemos comprar o Lote 1, pois como uma de suas diagonais é maior do que as diagonais do Lote 2, o Lote 1 também terá maior área;
Mãe: Se desconsiderarmos os preços, poderemos comprar qualquer lote para executar nosso projeto, pois tendo ambos o mesmo perímetro, terão também a mesma área;
Filho 1: Devemos comprar o Lote 2, pois é o único que tem área suficiente para a execução do projeto;
Filho 2: Devemos comprar o Lote 1, pois como os dois lotes possuem lados de mesma medida, terão também a mesma área, porém o Lote 1 é mais barato;
Corretor: Vocês devem comprar o Lote 2, pois é o que tem menor custo por metro quadrado.
A pessoa que argumentou corretamente para a compra do terreno foi o(a)
A) pai.
B) mãe.
C) filho 1.
D) filho 2.
E) corretor.
Resolução em Texto
📌 🧮 Tema Geral:
🔹Geometria – Cálculo de área de paralelogramos com ângulos oblíquos
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Área de paralelogramo: A = base × altura
- Relações trigonométricas em triângulo retângulo
- Análise crítica de argumentos matemáticos e espaciais
🔢 Nível da Questão
🔸Médio-avançado (exige geometria com trigonometria aplicada)
✅ Gabarito
- Letra C (Filho 1)
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Trecho-chave do enunciado:
“…irão necessitar de uma área de pelo menos 400 m².”
🎯 Nosso objetivo:
Verificar, entre os dois lotes disponíveis, qual possui área suficiente para atender esse critério mínimo e identificar quem fez o argumento correto baseado nisso.
👉 O que ele quer saber?
Se algum lote tem menos de 400 m², e quem entre os envolvidos identificou isso corretamente.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Para calcular a área de um paralelogramo oblíquo, usamos:
A = base × altura
No caso do Lote 1, não temos a altura diretamente. Mas podemos encontrá-la usando relações trigonométricas. A altura está oposta ao ângulo de 60°, e temos a hipotenusa (15 m), que é um dos lados inclinados.
🔸 Sabemos que:
sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa
→ aqui: sen(60°) = h / 15.
🧷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Lote 1:
- base = 30 m
- lado inclinado = 15 m
- ângulo entre base e lado inclinado = 60°
- precisamos encontrar a altura h
Lote 2:
- paralelogramo retângulo
- altura = 15 m
- base = 30 m
🧮 Passo 4 – Desenvolvimento do raciocínio e cálculos
Altura do Lote 1:
Dados:
sen(60°) = √3 / 2 ≈ 0,866
√3 ≈ 1,7
sen(60°) = h / 15
⇒ √3 / 2 = h / 15
⇒ (1,7 / 2) = h / 15
⇒ 0,85 = h / 15
⇒ h = 0,85 × 15 = 12,75 m
Área do Lote 1:
A₁ = 30 × 12,75 = 382,5 m²
Área do Lote 2:
A₂ = 30 × 15 = 450 m²
🧩 Passo 5 – Análise das Alternativas
Critério: é necessário pelo menos 400 m² para o projeto.
- Lote 1 tem 382,5 m² → NÃO serve
- Lote 2 tem 450 m² → SERVE
Pai: fala de diagonais → ❌ irrelevante para área
Mãe: “mesmo perímetro → mesma área” → ❌ falso
Filho 1: diz que só o Lote 2 serve → ✅ correto
Filho 2: diz que ambos têm mesma área → ❌ incorreto
Corretor: diz que o Lote 2 tem menor custo por metro →
🔹 Preço do Lote 1 = R$ 100.000 → 100.000 / 382,5 ≈ 261,44/m²
🔹 Preço do Lote 2 = R$ 150.000 → 150.000 / 450 = 333,33/m²
→ O Lote 1 tem menor custo por metro, então o corretor também está ❌ errado.
🎯Passo 6: Conclusão e justificativa final
A única pessoa que fez um argumento matematicamente correto e compatível com o objetivo do projeto (ter área mínima de 400 m²) foi:
✅ Filho 1
Porque ele percebeu corretamente que apenas o Lote 2 possui área suficiente.
Alternativa correta: Letra C
